Equation a resoudre dans C

[invited41e3334]

Bonjour, j'ai l'intitule suivant a resoudre mais n'y arrive pas :

Resoudre dans C : (z+i)^n = z^n avec n > ou egal a 2

Est ce que vous auriez quelques pistes ? Je suis completement bloquee.

Merci par avance
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[inviteea028771]

Diviser par z^n (en remarquant que l'on peut considérer z non nul), puis remarquer alors que l'on a une jolie racine n-ième de l'unité qui apparait. Reste alors a résoudre une équation fort simple pour trouver toutes les solutions.

D'ailleurs de façon générale, quand on a un exercice avec du (machin)^n = bidule, c'est généralement une histoire de racine n-ième de l'unité qui traine sous le tapis

[invited41e3334]

Oui mais je suis justement bloquée lorsque j'obtiens (z+i)^n / z^n ....
je n'arrive pas à avancer

[Armen92]

Bonjour, j'ai l'intitule suivant a resoudre mais n'y arrive pas :

Resoudre dans C : (z+i)^n = z^n avec n > ou egal a 2

Est ce que vous auriez quelques pistes ? Je suis completement bloquee.

Merci par avance

De l'égalité donnée on tire immédiatement , entier (par exemple ) d'où .

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea028771]

Oui mais je suis justement bloquée lorsque j'obtiens (z+i)^n / z^n ....
je n'arrive pas à avancer

(z+i)^n / z^n = 1 implique que ( (z+i)/z )^n = 1, donc en posant Z = (z+i)/z, on a Z^n = 1, donc Z = etc...

[invited41e3334]

Merci pour ta réponse,

en posant Z = (z+i)/z
et en faisant tous mes calculs,
mes solutions de Z sont s= {exp( 2ikpi / n ) , k appartenant à (0,1,2,...,n-1) } avec pi le nombre pi

et je suis de nouveau bloquée...

[gg0]

Tu te bloques à chaque fois, bizarre !

Surtout que là tu as déjà la suite !

Pourquoi n'écris-tu pas la valeur de Z (Z=..) puis comme c'est z qu'on cherche, ne reviens-tu pas à z ? Il faut qu'on écrive à ta place (*) ?

(*) Tryss à pratiquement tout fait à ta place !!

[invited41e3334]

et bien oui mais je n'y arrive pas même en repassant par z car j'ai Zz= z+i et j'aimerais exprimer z en fonction de Z car il me semble que c'est ça la clé mais je n'avance pas

[gg0]

Eh bien ! Fais-le !

Ce n'est pas difficile de résoudre l'équation du premier degré (cours de troisième) d'inconnue z : Zz= z+i puis de remplacer Z par sa valeur (ses valeurs).
Ou tu remplaces Z par sa valeur (la première), et tu résous, puis tu recommence avec la valeur suivante, et ainsi de suite ...


NB : "je n'avance pas" Eh oui, tu attends qu'on te dise quoi faire. Si tu étais comme ça dans la vie courante, tu serais une vraie larve...

[invited41e3334]

Bon alors finalement je trouve Zz - z = i
z(Z-1)= i
z = i / Z-1

Désolée pour le temps de compréhension, je me remets au études après une longue rupture

[gg0]

Effectivement,

les réflexes sont un peu rouillés. Mais il faudrait un peu plus essayer ... tu connais toujours les règles, donc tu calculeras juste.

Au fait : Tu ne peux passer à z = i / Z-1 que si Z ne vaut pas 1. Ce qui va servir !!!

[invited41e3334]

finalement je trouve donc z = i / exp(2ikpi/n) -1 , ( k appartenant a 1,2,3,...,n-1 )

Ne t'acharne pas sur moi je viens de dire que je reprenais mes études. Ca arrive de se retrouver bloquer puis petit à petit de résoudre.
Merci de votre aide en tt cas

[gg0]

Juste une remarque :

"je trouve donc z = i / exp(2ikpi/n) -1" est faux, "je trouve donc z = i / (exp(2ikpi/n) -1)" est correct.

Bon courage !

[invited41e3334]

Oui, merci bcp.

En fait lorsqu'il a fallu poser Z= z+i/z j'étais perdue car j'avais complètement oublié cette méthode et petit à petit j'ai compris que retrouver z en fonction de Z était de rigueur puisque j'avais la solution pour Z^n