Calcul de dérivées partielles

[invitea9634717]

Bonsoir,

Soit :


differentiable
On note l 'hyperplan à a , on choisit une base de H

On veut montrer que definie par
verifie :

J'ai :



Je suis bloque, merci à l'avance de votre aide
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[invite93e0873f]

J'imagine que est orthogonal à . J'imagine aussi que les décompositions et se font via une base orthonormée de pour le produit scalaire . Admettant cela, je pense que c'est ta notation qui crée ta confusion.

Nous avons différentiable et une fonction définie par qui est aussi différentiable. La fonction est la composition .

Dénotons par la dérivée partielle de par rapport à son -ième argument, . Alors nous avons

.

Il reste alors à déterminer . Ceci fait, nous aurons

. Le terme entre grandes parenthèses, pour chaque , est alors tel que l'expression totale vaut bien 0.

[invitea9634717]

Pour la notation c'est bien celle que j'ai dans mon enonce

[invite93e0873f]

J'ai modifié la notation pour la dérivation de pour souligner le fait que l'on dérive par rapport à ses arguments, souvent notés par des , mais une telle notation peut créer de la confusion avec les composantes du vecteur de l'énoncé.

Autrement, tes sont fixes, indépendants de , donc ta dernière expression se simplifie. Reste alors uniquement à calculer .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea9634717]

On obtient <1,h(i)> + <x+0> ?

[invite93e0873f]

Nous avons effectivement . Pour le deuxième terme, puisque est fixe et ainsi indépendant de (soit encore indépendant de chacune des composantes de ), nous avons . Pour ce qui est du premier terme, avec le vecteur à n composantes n'ayant que des 0 sauf pour la j-ième composante qui est 1. Donc , ce qui égale la -ième composante du vecteur , que nous noterons .

Bref, .

Donc .

À partir de là, considérant ce que j'ai dit dans mon précédent message, tu devrais pouvoir conclure.