Racines complexes d'un polynome

inviteffd13b39 · 08/12/2013, 17h37

Bonjour,

Voila mon exercice:
J'ai prouvé que
P(X)=10X¹⁰-X⁹-X⁸...-X-1
= (X-1)(10X⁹+9X⁸+8X⁷+...+1)

Après ils demandent de trouver que les racines complexes de P(X) sont de module inférieur ou égal à 1.
Comment faire pour trouver ces racines complexes?

Merci

invite93e0873f · 09/12/2013, 15h47

Bonjour,

Dans ce type de problème, il est souvent bien utile de faire appel au théorème de Rouché : http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Rouché

Pour $\text{[math]}$ , soient $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Posons $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Pour $\text{[math]}$ suffisamment petit, il est clair que $\text{[math]}$ ne contient aucun zéro de $\text{[math]}$ ou de $\text{[math]}$ (et encore moins de leurs pôles...).

Nous calculons sur le lacet $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Donc le théorème de Rouché s'applique et implique que, dans $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ont autant de zéros, à savoir 10 (en comptant les multiplicités). $\text{[math]}$ étant de degré 10, cela épuise toutes ses racines. En faisant tendre $\text{[math]}$ vers 0, cela permet de conclure.

**acx01b** · 10/12/2013, 22h37

salut, je ne sais pourquoi tu fais tendre epsilon vers 0

je pense qu'on peut dire directement, si P(a) = 0 et |a| > 1 :

|P(a) - 10 a^10| = |a^9 + a^8.. + 1| < 10 |a|^9
10 |a|^10 < 10 |a|^9

ce qui est contradictoire

invite93e0873f · 11/12/2013, 04h45

Tu n'utilises pas le théorème de Rouché dans ton raisonnement, donc c'est encore mieux!

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Racines complexes d'un polynome