Analyse complexe : singularité essentielle

[coussin]

Bonjour

J'étudie une fonction dans le plan complexe qui a la propriété suivante : cette fonction possède une infinité de couples pôle/zéro en se rapprochant de l'origine (suivant une certaine direction, par exemple par l'axe réel positif). En effet, la position de ces couples pôle/zéro de cette fonction correspond aux zéros de la fonction sin(1/sqrt(x)), qui oscille infiniment vite quand on se rapproche de l'origine.

Puis-je dire que ma fonction a une singularité essentielle à l'origine. Je ne pense pas... Car comme ce sont des couples pôle/zéro, le principe de l'argument sur un contour qui entoure l'origine me donne en fait toujours zéro.

Comment puis-je définir l'origine (est-ce même une singularité ?)

Merci d'avance
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[acx01b]

salut

- tu dois choisir une détermination du logarithme pour bien définir

- c'est une fonction holomorphe sur avec une infinité de zéros au voisinage de 0
je ne sais pas où tu as vu qu'il y avait un pôle,

- n'est pas méromorphe: il n'y a pas de fonction holomorphe sur un disque centré en zéro tel que est holomorphe sur (tu auras holomorphe sur )

- donc le principe de l'argument ne tient pas : car c'est une fonction avec un point de branchement.
pour tout , n'a pas d'intégrale de contour nulle sur un lacet entourant 0


conclusion : les points de branchements c'est comme les singularités essentielles, à éviter comme la peste

[coussin]

Non non, ce n'est pas cette fonction
C'est une fonction très compliquée qui n'a pas de forme analytique (bon, en fait si mais c'est inutile que je détaille ça ici).

Je peux reformuler de manière plus abstraite : est-ce que un point du plan complexe vers lequel s'accumule une infinité de pôles et de zéros (comme je l'ai decrit) est une singularité. Essentielle ?

[acx01b]

j'espère ne pas avoir dit de bêtises, je suis comme la plupart des gens je suppose, je ne domine pas l'analyse complexe j'ai toujours besoin de réfléchir sur ce genre de problème

tu veux dire : est-ce que un point du plan complexe vers lequel s'accumule une infinité de pôles et de zéros (comme je l'ai decrit) est un point de branchement ou une singularité essentielle ou un truc du genre ?

aucune idée mais \sqrt(z) a un point de branchement comme log(z)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite02232301]

Bonjour,
Cette question ne veux pas dire grand chose en l'etat, pour parler de singularité et de poles etc on se place dans un contexte ou la fonction est holomorphe dans un voisinage epointé de la singluarité essentielle.
Deja on sait rien du type de fonction considéré, meromorphe, holomorphe, lisse? Autre chose?

Deja il faut savoir qu'une fonction holomorphe dont l'ensemble des zeros possède un point d'accumulation est identiquement nulle sur la composante connexe contenant le dit point d'accumulation.

C'est pas parce qu'une fonction va de C dans C qu'elle releve de l'analyse complexe, les techniques de l'analyse complexe (y compris le vocabulaire, pole, singularité essentielle) s'applique sur un type bien particulier de fonctions de C dans C (ou sur des variétés analytiques complexes).

[acx01b]

Deja il faut savoir qu'une fonction holomorphe dont l'ensemble des zeros possède un point d'accumulation est identiquement nulle sur la composante connexe contenant le dit point d'accumulation.

trop abstrait pour moi ! dans le cas de ça donne quoi ?

[invite02232301]

Pour sin(1/z) est est holomorphe sur C privé de 0 et non meromorphe en ce point, elle possède une singularité esentielle en 0.

[coussin]

Ma fonction est méromorphe. Elle possède un point où s'accumule une infinité de pôles et de zéros. Je souhaiterais définir ce point (est-ce que ça a un nom particulier, un tel point d'accumulation ?)

[coussin]

Alors méromorphe peut-être sauf en ce point d'accumulation : c'est un peu ma question en fait

[coussin]

En fait ma question c'est comment je démontre qu'un point est une singularité essentielle ou pas
N'y a-t-il cette histoire que dans un voisinage épointé la fonction atteint une infinité de fois tous les nombres complexes ? Traduit en terme de principe de l'argument, cela signifie-t-il que le long d'un circuit qui entoure la singularité, la variation de l'argument vaut, quoi, l'infini ?

Merci d'avance

[Seirios]

Tu peux regarder Théorème de Weierstrass-Casorati. Les trois types de singularités sont traités de manière assez simple dans le Rudin.

[acx01b]

coussin : tu n'as pas lu mes messages ? je les ai écrits pour rien ?

Seirios :

Les trois types de singularités sont traités de manière assez simple dans le Rudin.

c'est quoi le Rudin ?

[pallas]

Le rudin est un ouvrage mathématiques ecrit par Rudin

[acx01b]

C'est une fonction très compliquée qui n'a pas de forme analytique (bon, en fait si mais c'est inutile que je détaille ça ici).

et tu devrais peut-être passer 5 minutes à rédiger en latex cette "fonction qui a une forme analytique compliquée"

pallas : tu as du l'humour ! j'ai tapé sur google Rudin analyse complexe et je n'ai pas trouvé

[albanxiii]

Bonjour,

"Real and complex analysis", Walter Rudin, une "bible" pour beaucoup.
Il existe même une traduction en français, "Analyse réelle et complexe".

@+

[coussin]

Tu peux regarder Théorème de Weierstrass-Casorati. Les trois types de singularités sont traités de manière assez simple dans le Rudin.

Merci. Finalement, le seul moyen de "classer" une singularité c'est de faire un développement en série de Laurent.
Mon problème est que je ne peux pas faire ce développement analytiquement, seulement numériquement...
Acx01b : Je lis tes messages À quoi te servirait d'avoir l'expression exacte de ma fonction. Tu devras alors passer du temps à l'étudier, travail que j'ai déjà fait.

[Seirios]

Les deux autres types de singularités peuvent être exclus : soit il y a prolongement par continuité, soit s'il y a un pôle en .

[coussin]

Merci de vos réponses
Finalement, il me semble que c'est un point de branchement : si je tourne autour de ce point sur des circuits de plus en plus petit, à la limite ma fonction a une discontinuité. C'est en fait ces couples pôles/zéros de plus en plus dense qui finisse par se comporter comme une coupure.
Par contre, j'ai du coup une autre question : est-ce que c'est possible d'avoir une coupure dont seulement une des extrémité est un point de branchement ?

[acx01b]

les points de branchements les plus simples sont :

ln(z) en 0
z^{1/2} en 0

le ln(z) habituel a une coupure sur [0;+inf[ , toi tu as une coupure où ça ?

ces deux fonctions peuvent être rendues méromorphes (et même entières) avec un simple changement de repère z--> e^u

si tu trouves un changement de repère qui fait disparaitre des points de branchment ou des singularités ou des pôles ça peut t'aider à définir une série entière ou une série de laurent ou un produit de weierstrass, une transformée de laplace, etc... (d'où l'intêret de montrer ta fonction au voisinage de ton point de branchement)

[stefjm]

z--> e^u

Tiens, le changement de repère bien connu en échantillonnage, pour passer de Laplace à transformée en z ?

[...]une transformée de laplace[...]

@ coussin : un espèce de cauchemar... Ca a l'air amusant comme problématique.

Cordialement.

[coussin]

le ln(z) habituel a une coupure sur [0;+inf[ , toi tu as une coupure où ça ?

Oula, un peu partout
Je comprends mieux : ma fonction dépend d'un paramètre. Quand ce paramètre vaut l'infini, il y a des trucs qui se simplifie et ma fonction possède effectivement un certain nombre de points de branchement et coupures.
Quand ce paramètre est fini, ma fonction ne possède pas encore de coupure mais ses points de branchement sont d'ores et déjà là. Ce que fais ce paramètre est d'augmenter la densité de pôles/zéros selon une certaine direction partant du point de branchement. À la limite, ça devient une coupure (c'est infiniment dense)

[invite02232301]

Je ne peux qu'appuyer le conseil de Seirios, lis le Rudin (il est facile a lire), tu y trouveras la théorie élémentaire des fonctions analytiques. Je pense que tu y verras plus clair après ça.

[coussin]

J'ai étudié le livre de Brown et Churchill. Vous connaissez? C'est un bon bouquin ?

[invite02232301]

Je ne le connais pas. Le bouquin de Rudin est facilement trouvable en ligne. Tu devrais y jeter un œil, ça te donnerait une idée.

[coussin]

J'y ai jeté un œil

[coussin]

Rebonjour
Je continue sur ce fil plutôt que d'en ouvrir un autre.
Concernant toujours ma même fonction, j'ai un autre point que j'ai du mal à classer

Ma fonction a une singularité sur l'axe réel à . Mais ma fonction fait intervenir des fonctions (compliquées…) de racines carrées et elle a aussi une coupure qui court, justement, sur l'axe réel.
Oui mais voilà : les deux valeurs (sur les deux branches; ma fonction est bivaluée) de ma fonction coïncident, justement, en (et seulement en ce point…)
En conséquence de quoi, malgré la coupure le long de l'axe réel, le long d'un petit circuit de rayon infinitésimal qui entoure , ma fonction est continue.
Dit autrement, je pense que je peux définir un développement en série de Laurent de ma fonction en , ce développement aura, par contre, un rayon de convergence nul (il ne sera valable, strictement, que au point ).

Ma question est : dans ce cas très particulier, puis-je définir un résidu de ma fonction en ? Je pense que oui (numériquement en tout cas, tout se « passe bien ») mais puis-je formaliser ça proprement ?

Merci d'avance

[coussin]

Je me réponds
Je pense que non, je ne peux pas définir un résidu dans ce cas. Pour définir un residu, je dois pouvoir définir un anneau autour de la singularité dans lequel un développement en série de Laurent est valable. Là, je peux pas : il faudrait qu'à la fois les rayons intérieurs et extérieurs de l'anneau soient nuls et c'est plus un anneau

J'ai une autre question Puis-je appliquer le Principe de l'Argument sur un contour fermé qui entoure une infinité de pôles et zéros, mais dont la différence Z-P est finie ? (Le Principe de l'Argument est usuellement pour les fonctions méromorphes, donc pour des contours entourant un nombre fini de pôles et zéros...)

Merci d'avance