Analyse complexe: quelle type de singularité?

[arbolis87]

Bonjour,
je voudrais savoir de quel type de singularité -pole, singularité essentielle ou bien singularité effacable- il s'agit lorsqu'on considere la fonction f(z)=log(z) et qu'on regarde les réels négatifs. Il est clair pour moi que tous les réels négatifs peuvent etre des singularités essentielles (ils ne peuvent pas etre effacables ni des poles) mais je n'en suis pas sur. En tout cas il est clair que n'importe quelle singularité n'est pas une singularité isolée, ce qui complique les choses pour moi.
Merci d'avance.
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[invite4f5f4c42]

Bonsoir,

Tu as raison ce sont des singularité essentielles. Il suffit simplement d'utiliser les croissances comparés en 0. Et c'est bien connu(et facile à démontrer) que le log l'emporte sur toutes puissance en 0. C'est donc que sont développement en série de Laurent est infini! . C'est donc le cas modulo 2kpi . Simplement entre ces entiers on peu parfaitement définir le log (en supprimant R+). De plus les singularités d'une fonction méromorphe sont toujours dénombrables pour la même raison qu'elle a un nombre dénombrable de 0.Et toutes singularités comme tout 0 est isolé. Il n'est donc pas possible que tout R- soit un pôle. Tu confonds sans doute l'extension méromorphe maximale et la question des poles.
Bonne continuation

[arbolis87]

Merci pour ta réponse. Cependant peux-tu me préciser

De plus les singularités d'une fonction méromorphe sont toujours dénombrables pour la même raison qu'elle a un nombre dénombrable de 0.Et toutes singularités comme tout 0 est isolé. Il n'est donc pas possible que tout R- soit un pôle. Tu confonds sans doute l'extension méromorphe maximale et la question des poles.
Bonne continuation

Si je prends le point 0 ou -1 par exemple, je ne vois pas comment ce sont des singularités isolées. Si on prend un cercle de centre 0 ou -1, de rayon , je n'aurais jamais une seule singularité pour n'importe quel rayon >0.
Merci encore.

[invite4f5f4c42]

En fait si tu supprime R + comme je te l'ai dis tu peux tout a fait construire un logarithme prenant la valeur 0 en -1 ( -pi à la limite au dessus de 1 et pi en dessous ) . Se logarithme se construit de la même façon que le prolongement analytique. Parce qu'il faut comprendre c'est que le prolongement analytique n'a rien de triviale dans son calcul ni même de canonique ou d'unique. Il est définit de manière locale point à point. Pour le log ce qui empêche la définition c'est le fait qu'on ne peux pas faire un tour de manière continue et les singularité. log(Aexp(ia) )= ln|A| + ia peux être définie en R- privé des point ou exp(ia)=1 c'est à dire a =2kpi

[A voir en vidéo sur Futura]