Analyse complexe

invite072a9e94 · 10/01/2010, 19h22

Bonjour
je bloque sur...
Exo:Soit F la famille des fonctions holomorphes sur le disque unité $\text{[math]}$ telles que |f(z)|< 2, $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . Trouver $\text{[math]}$ .

J'ai commencé par poser $\text{[math]}$ , donc h une fonction holomorphe sur $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , donc d'aprés le lemme de schwarz, on a:

$\text{[math]}$ d'ou $\text{[math]}$

et pour $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ,
puisque ceci est valable pour toute fonction $\text{[math]}$ alors

$\text{[math]}$ . A partir de là je me suis dit qu'il suffit de trouver une fonction $\text{[math]}$ vérifiant en plus $\text{[math]}$ pour conclure que le max=1 et j'y arrive pas encore!
Proposez moi meilleur ou un petit coup de pouce...Merci d'avance

**thepasboss** · 10/01/2010, 21h02

Bonsoir,

En fait ici il faut adapter le lemme de schwarz en reprenant la démonstration.

On pose $\text{[math]}$ et g(0) = f ''(0).

g est holomorphe et on lui applique le principe du maximum, d'où pour tout complexe inclu dans le disque de rayon r de centre 0 :

$\text{[math]}$

D'où $\text{[math]}$ pour tout z dans le disque. Donc $\text{[math]}$ . Avec cette meilleur majoration on peut conclure facilement en prenant une fonction holomorphe bien choisie (et qui se voit clairement)

invite072a9e94 · 10/01/2010, 22h42

Merci pour votre aide, par contre "cette fonction holomorphe bien " choisi doit vérifier $\text{[math]}$ ce qui me bloque surtt.....

**thepasboss** · 11/01/2010, 00h00

et bien, pourquoi pas... 2z² ?

edit : ah et une petite coquille dans mon post précédent. Il y'a bien sur un exposant 2 sur le r au dénominateur.

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invite072a9e94 · 11/01/2010, 20h28

Rebonjour.....
Oui c'est une trés bonne majoration, merci encore...
Le seul truc qui me laisse pas trankil, cest l'existence de f''(0)..
Qu'est ce que vous en pensez??

**thepasboss** · 11/01/2010, 20h42

Que j'ai encore fait une coquille, dans ma preuve il faut prendre

$\text{[math]}$ .

Ensuite ta fonction f est par hypothèse holomorphe sur le disque unité, elle y est donc analytique, donc l'existence de f ''(0) ne fait aucun doute. Ensuite on prend le développement en série de f et en prenant compte du fait que f(0) = f '(0) = 0 on a immédiatement que la fonction g que j'ai posé dans ma preuve est bien définie et holomorphe (car analytique).

invite072a9e94 · 11/01/2010, 20h54

Par contre j'ai ésseyai d'avoir la même majoration par une autre méthode et j'aimerais savoir qu'est ce que t'en pense "thepasboss" ainsi qu'a celui qui veut intervenir!
J'ai poser cette fois $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , d'aprés le principe du maximum on a:
$\text{[math]}$ , ce qui nous permettra d'appliquer le lemme de scharwz, donc $\text{[math]}$ d'ou $\text{[math]}$
on obtient ainsi la même majoration..y'a t'il une erreur?

**thepasboss** · 11/01/2010, 21h00

Oui c'est tout à fait juste. Mais en fait tu fais par un moyen détourné la même démonstration que moi ^^.

invite072a9e94 · 11/01/2010, 21h27

Je te remercie encore, ça me rassure...En fait j'ai encore un petit exo qui ressemble à la précedente et j'y est réfléchi longtemps mais ça bloque c'est le suivant:
exo: Soit F la famille des fonctions holomorphes sur D telles que $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .Trouver $\text{[math]}$

invite072a9e94 · 12/01/2010, 19h34

C'est bon! je pense avoir réussi merci encore.

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