Analyse complexe

[invitea4e72a94]

Bonjour,

Autours de l'exo classique: montrer qu'il n'existe pas de suite de polynomes tq uniformément sur le cercle unité.

Si , je vois venir la contradiction en utilisant le théorème Cauchy (l'intégrale de sur le cercle est 0, alors que l'intégrale de est ).

Quelqu'un aurait-il une idée pour le cas ?

Merci.
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[KerLannais]

Salut,

Tu es d'accord que le raisonnement avec Cauchy marche encore pour non entier. Sinon quand est un entier plus grand que , par exemple , si tu suppose que tu as une suite de polynômes qui converge vers uniformément sur le cerle unité alors la suite des est une suite de polynômes qui converge vers uniformément sur le cercle unité ce qui est impossible d'après ce que tu as montré.

[invitebb921944]

Bonjour, je ne vois pas pourquoi son raisonnement marcherait pour non entier puisque sauf erreur, admet une primitive sur et que par conséquent, son intégrale sur le chemin fermé est nulle.

[KerLannais]

Salut

Pour te répondre Ganash, j'aimerai bien savoir quelle détermination du logartithme complexe tu utilise pour définir

sur . Ca m'étonnerait que tu arrives à obtenir une fonction continue (pour définir cette fonction tu utilise la fonction argument d'un nombre complexe qui peut être choisie de différente manière mais qui n'est jamais continue sur la cercle unité) et encore moins dérivable. Ce n'est donc pas une primitive mais peut-être penses-tu à une autre fonction qui pourrait être une primitive mais j'aimerai bien savoir quelle fonction. De toute façon, pour répondre à ta question il suffit de faire le calcul élémentaire suivant pour non entier:

où est le cercle unité qui est bien un chemin fermé de .

[A voir en vidéo sur Futura]