probleme avec un systeme dynamique

[atrahasis]

Bonjour tout le monde,

Alors j'ai un petit probleme avec un systeme differentiel, je veux faire son etude dynamique, l'inconvenient est que l'un des points qui m'interesse est a l'infini donc j'ai utilise la sphere de poincare. Ainsi je trouve que le flot au voisinage de ce point est topologiquement equivalent a un certains systeme differentiel. J'en arrive donc a etudier ce systeme par linearisation mais je me retrouve avec la matrice nulle, je ne peux alors rien conclure d'apres le theoreme d'Hartman-Grobman.
Est-ce que quelqu'un a une idee.
Pour faire plus simple on peut resumer le probleme a un systeme de ce type:



Le seul point fixe est (0,0) et la linearisation en ce point donne la matrice nulle. Comment dans ce cas resoudre le probleme, par une etude dynamique bien sur (pas par la resolution directe des equations differentielles).

Merci des commentaires, s'il y en a!
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[atrahasis]

Je fais remonter le sujet et cela me permettra de rajouter quelques points.
Le systeme que j'etudie est a 4 dimensions donc plus de difficile que le systeme que j'ai propose, c'est la raison pour laquelle je recherche une methode un peu generale que je pourrais utiliser a 4 dimensions.

Pour ce systeme a 2D, il est certainement possible de definir une fonction de Lyapunov (je n'ai pas cherche) mais ce sera mission impossible pour un systeme a 4D, donc je ne recherche pas de solutions dans ce sens.
Il y a la possibilite de regarder du cote de "index theory", mais cela me dira seulement si le point critique est un point col ou pas et puis je ne vois pas du tout comment generaliser la theorie des courbes fermes a plus de 2D.

Donc j'ai finalement pense a la theorie de la bifurcation, ce qui donnerait pour ce modele



On peut etudier ce systeme pour positif et enfin faire tendre vers 0.

Pour ce systeme a 2D, ca marche, je trouve le bon comportement si on le compare a des resultats numeriques.

Maintenant je dois le generaliser a 4D, ma question avant de le faire est:
est-ce que c'est juste de proceder ainsi.

Est-ce que la limite garde la meme topologie du flot au voisinage du point critique?, est-ce qu'il y aurait un theoreme (du type Hartman-Grobman) qui me l'interdirait?