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transformé de Laplace



  1. #1
    Phil974

    transformé de Laplace


    ------

    Bonjour à tous j'aimerai savoir si mes calculs sont justes sur des transformés de Laplace n'ayant pas de profs pour m'expliquer comment ça marche: voilà les exercices
    Exercice 1
    Déterminer les transformées de Laplace des fonctions suivantes
    1) f:t |-> (t^4-3t^2)U(t)
    2) g:t |-> (cos3t- 5sin2t)U(t)
    3) h:t |-> e^(-2t)*sin(wt)U(t)
    4) k:t |-> t*e(-2t)sin(t)U(t)

    Exercice 2
    1) Soit f le signal défini sur |R par :[LIST][*]f(t)=0 si t < 0Pièce jointe 76771mée de Laplace F(p) de la fonction f
    3)Démontrer que f(t)=tU(t)-(t-2)U(t-2).Retrouver alors F(p) en utilisant les propriétés de la transformation de Laplace.

    réponses:
    Exercice 1
    1)L[g(t)](p)=L[t^4*U(t)](p)-3L[T^2*U(t)](p)=24/p^5-6/p^3
    pour tout p>0

    2)L[g(t)](p)=L[cos3t*U(t)]-5L[sin2t*U(t)]
    = p/(p^2+p^3)-5[2/(p^2+2^2)]
    = p/(p^2+9)-10/(p^2+4) pour tout p>0

    3)L[h(t)](p)= L[e(-2t)*sin(w*t)*U(t)](p)
    =L[sin(w*t)*U(t)](p+2)
    =w/((p+2)^2+w^2)

    4)L[k(t)](p)= L[t*sin(t)*U(t)](p+2)
    = -d/dp[t*sin(t)*U(t)](p+2)]
    =-d/dp[1/((p+2)^2+1)]
    = -(2p+4)/[(p+2^2+1]^2
    pour tout p>0
    *est ce juste?
    Exercice 2
    (voir graphique)

    2)déterminons la transformée de Laplace F(p) de la fonction f

    La fonction f est définie sur 3 intervalles ]-oo;0[,]0;2],[2;+oo[
    supposons que la fonction est une fonction définie sur |R, continue par morceaux et nulle sur l'intervalle ]-oo;0[
    Il faut que l'intégrale de F(p) converge au moins sur un intervalle illimité, cet intervalle ici est [2;+oo[
    Ainsi nous avons :
    F(p)=une intégrale

    c'est là que je suis sèche si quelqu'un peut m'expliquer comment faire d'après la définition les exemples de mon bouquin sont trop vague merci
    amicalement Philippe

    -----
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  3. #2
    Phil974

    Re : transformé de Laplace

    l'exercice 2 c'est----->
    Exercice 2
    1) Soit f le signal défini sur |R par :
    • f(t)=0 si t < 0
    • f(t)= t si 0<= t<2
    • f(t)=2 si t>=2

    Représenter f
    2)Déterminer, en utilisant la définition, la transformée de Laplace F(p) de la fonction f
    3)Démontrer que f(t)=tU(t)-(t-2)U(t-2).Retrouver alors F(p) en utilisant les propriétés de la transformation de Laplace.

  4. #3
    NicoEnac

    Re : transformé de Laplace

    L'exercice 1 me semble correct (application de formules de base de la transformée de Laplace).

    Pour l'exercice 2, j'aurais utilisé la méthode du 3) pour le 2)... Je pense qu'il va falloir utiliser la formule générale !
    "Quand les gens sont de mon avis, il me semble que je dois avoir tort."O.Wilde

  5. #4
    Phil974

    Re : transformé de Laplace

    merci pour la réponse, je suis resté bloqué par tentation de prendre la méthode de la question 3 pour la 2, je me serais moins cassés la tête, mais j'ai fini par trouver merci beaucoup NicoEnac !
    @ une prochaine
    Phil

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