Petit problème de géométrie.

[invite4ef352d8]

Bonjour !

peut-etre pouvez vous m'aider sur ce petit problème... ca à l'air assez taupinal, mais j'ai pas trop d'idée pour attaquer... (je dois être un peu rouillé faut croire...)

On ce donne E un espace vectoriel normé (réel ou complexe, je pense pas que ca soit important) de dimension fini, et on munie End(E) de la norme d'opérateur subordonné à la norme de E.

Dans ce cas, à qu'elle condition sur E (et sa norme) l'identité de E est un barycentre à coefficients positifs d'endomorphisme de rang 1 et de norme inférieur (ou egal) à 1 ?

j'ai presque envie de dire que ca doit être vrai que si E est de dimension 1, mais j'arrive pas à le prouver... je pense que je rate qqch de pas compliqué...


Merci !
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[KerLannais]

Salut,

Peut-être que dans la question de base il n' y avait pas la condition de norme inférieure ou égale à 1 et auquel cas la réponse est que la norme doit avoir qu'un nombre fini de points extrémaux. Un point d'une partie est extrémal si la seule façon de l'écrire comme un barycentre de points deux à deux distincts de cette partie:



implique que l'un des est égale à et ainsi le correspondant vaut et c'est le seul non nul. L'associativité du barycentre permet de se restreindre à 2 points distincts tout en gardant une définition équivalente. Il me semble qu'on peut montrer la boule unité (je parle de la boule unité fermée bien entendu) d'un espace comporte toujours au moins points extrémaux où est la dimension de l'espace (et même de façon plus général un convexe), il doit suffire d'utiliser le théorème de Krein-Milman et de dire que s'il y a moins de points extrémaux on obtient un repère barycentrique de moins de points dans un espace de dimension ce qui est absurde. En admettant qu'une boule unité comporte toujours un point extrémal on en supposant que la dimension soit strictement supérieure à alors on ne peut pas écrire l'identité comme barycentre d'endomorphismes de rang et de normes inférieures à . En effet, la décomposition doit alors comporter au moins deux endomorphismes pour des raisons évidentes de rang. Notons le point extrémal et ses images par les endomorphismes, on notera aussi les poids utilisés dans la décomposition de l'identité. On a alors

Nécessairement un des vaut et les autres sont nulle et alors l'identité devrait être égale à un endomorphisme de rang ce qui est impossible en dimension .

[invite4ef352d8]

ah ba oui tout bêtement : j'étais focaliser sur le fait que j'avais des applications de rang 1, mais en fait, le simple fait d'écrire l'identité comme un barycentre non trivial d'objet de norme inférieur à 1 est impossible car ca implique que tout objet de norme <=1 s'ecrit comme un tel barycentre... et c'est assez embetant pour Krein-Millmann ^^ !


Merci.