Petit problème de géométrie ^^

[Chaospace]

Salut,

il y a plusieurs années (8 ans peut être) on m'a posé le problème suivant :

Soit un couloir assez haut dans un lequel on place deux échelles de la façon suivante :

Une échelle de 4m est posée contre le mur de droite et son pied touche le mur de gauche.
Une échelle de 3m est posée contre le mur de gauche et son pied touche le mur de droite.
Ces deux échelles se "coupent" à une hauteur de 1m par rapport au sol.

Pour simplifier, j'ai fait un schéma.

Le problème est de calculer la largeur de ce couloir, et je précise, en ayant un résultat exact (pas approché)

Voilà !

P.S: je connais la solution, mais je n'ai pas retrouvé le début du raisonnement. Cependant je me souviens quand même d'une expression à laquelle on arrive à un moment, en posant par exemple x la longueur du couloir. Je n'en dis pas plus.

Bon courage !
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[invite8ef897e4]

Le problème est de calculer la largeur de ce couloir, et je précise, en ayant un résultat exact (pas approché)

Ouh, pour autant que je me souvienne, le resultat exact m'avait pris plus que 3 pages et des sinus hyperboliques...

[Chaospace]

Dans la méthode que je connais, il n'y a pas de sinus hyperbolique.
Il y a donc apparemment plusieurs méthodes, et j'aimerais bien savoir laquelle est la plus simple... mais plus tard...

[stefjm]

Annulé....
Je n'avais pas vu qu'on était sur science ludique et croyais que c'était une question.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8241b23e]

Je crois que ça va faire un système d'équations de folie...

[Chaospace]

Annulé....
Je n'avais pas vu qu'on était sur science ludique et croyais que c'était une question.

Je n'ai pas vu ton message que tu as annulé... c'était pour répondre au problème ?
Parce que pas grand monde n'a l'air d'essayer de le résoudre

Bon il faut utiliser Pythagore et Thalès, et plusieurs fois ^^
On arrive à cette équation :

 Cliquez pour afficher

(16-x²)^-1/2 + (9-x²)^-1/2 = 1

Il suffit ensuite de mettre l'expression au carré (plusieurs fois) pour supprimer les racines carrées, on arrive à une équation du 8^ème degré, que l'on peut simplifier en polynôme du 4^ème degré :

 Cliquez pour afficher

X⁴-46X³+763X²-5373X+13585 = 0 (avec X=x²)

Puis on effectue méthode de Ferrari, on obtient 4 solutions dont deux complexes conjuées.
Les deux solutions réelles sont le carré de la largeur du couloir
car il faut revenir à l'équation du 8^ème degré (avec X=x²)
Ces solutions sont bizzarement assez proches (genre 30cm)
Par déduction logique, en regardant le schéma et en connaissant la taille des échelles on en déduit la bonne solution réelle.

On peut trouver la solution approchée sur des sites qui résolvent ce genre d'équations, mais comme avec Ferrari c'est bourrin, quelqu'un peut il mettre la solution exacte ? (avec des racines et des quotients j'imagine...)

Je suppose que c'est faisable avec un outils de calcul formel comme Mapple ou autre, mais je n'ai rien de tout ça, et je ne saurais pas m'en servir

Merci.

P.S : la méthode avec les sinus hyperboliques ça donne quoi ? pourquoi on les utilise ?

[Chaospace]

Correction dans l'équation du 4ème degré :

 Cliquez pour afficher

X⁴-46X³+763X²-5374X+13585 = 0

[invite8ef897e4]

pourquoi on les utilise ?

Pour resoudre elegamment le polynome obtenu. Je ne dispose plus de la solution, je ne crois pas avoir le temps de la re-chercher. De memoire, les parametres etaient les memes. Il y avait plusieurs identites remarquables que l'on pouvait combiner...

[Chaospace]

Pour resoudre elegamment le polynome obtenu.

ah ok.

Je ne dispose plus de la solution, je ne crois pas avoir le temps de la re-chercher.

pas de soucis ^^

De memoire, les parametres etaient les memes.

Ok merci pour la confirmation.

Je vais donc essayer d'introduire ce sinus hyperbolique dans la résolution de l'équation... à l'époque où on m'a posé ce problème, je devais avoir 12 ans... donc le sinus hyperbolique euh..

Sinon toujours personne pour le résultat exact ?

A+

[stefjm]

Je n'ai pas vu ton message que tu as annulé... c'était pour répondre au problème ?

C'était un lien vers la solution générale.
La boulette quoi...

Parce que pas grand monde n'a l'air d'essayer de le résoudre

Parce que beaucoup de monde le connait déjà ce petit problème. C'est un classique!

[Chaospace]

Ok, et le reultat était sous forme exact ?

car ça m'interesse... je vais essayer de trouver ça sur le web ^^

A+

[Chaospace]

Re,

en effet j'ai trouvé quelque sites qui en parlent, mais le resultat est toujours approché.
Et puis on voit plus souvent le problème avec des échelles de 2 et 3 mètres... c'est nul

[stefjm]

Ok, et le reultat était sous forme exact ?
car ça m'interesse... je vais essayer de trouver ça sur le web ^^
[...]
en effet j'ai trouvé quelque sites qui en parlent, mais le resultat est toujours approché.
Et puis on voit plus souvent le problème avec des échelles de 2 et 3 mètres... c'est nul

Bonjour,
C'est un pb classique présent dans la faq du newsgroup fr.sci.maths par exemple.
Pour la résolution exacte, vu que c'est une équation de degré 4, c'est connu depuis pas mal de temps.
Par exemple :
http://pagesperso-orange.fr/alain.pi...equation6.html

Selon le point de vu, on peut trouver cela "bourrin" ou très "élégant"!

Finalement, j'ai un peu de mal à voir où tu veux en venir.

@+

[Chaospace]

Re,

désolé pour la réponse relativement tardive ^^

j'ai cherché sur le site "newsgroup fr.sci.maths", mais je n'ai rien trouvé.
J'ai cherché dans les 20 premières pages mais en vain.. et la FAQ n'a rien à voir avec les sujets du forum mais il s'agit des règles du forum etc...
A part ça je sais bien qu'une équation du 4ème degré est résolvable, mais le problème c'est que, j'avoue, je n'avais pas le temps et peut être pas les capacités à la résoudre.
J'essaierai quand j'aurai le temsp donc ^^

Merci pour tout.
A+

[stefjm]

Bonjour,
http://www.usenet-fr.net/fur/maths/maths-faq-2.html
Chapitre IV Enigme
Paragraphe 6 les deux échelles.

[invite5c2ce3dd]

Bonjour tout le monde.
Je vous préviens tout de suite, je suis un élève de niveau secondaire donc je n'ai pas le même niveau que vous. Par contre, je suis assez intéressé par la géométrie et j'ai tenté de m'avancer dans le problème avec les notions que je possède. Ça allait plutôt bien, je comptais m'en sortir avec des proportions et des systèmes d'équations et cela m'a permis d'avancer assez loin. Par contre, il est survenu une contradiction et je ne comprends pas pourquoi. Si quelqu'un d'entre vous aurait la patience d'analyser mon raisonnement, ce serait grandement apprécié

Je suis incapable de faire des schémas donc il me sera un peu difficile d'exprimer mon raisonnement. Je vais faire de mon mieux.

J'ai d'abord tracé une ligne horizontale au niveau du croisement des échelles. Cela délimitait 4 triangles rectangles dont deux paires sont respectivement semblables. J'ai attribué la valeur "x" à l'hyppoténuse d'un triangle rectangle du bas. Les hyppoténuses des trois autres triangles rectangles étaient donc de (4-x), (3x/4) et (3-3x/4).

À partir de là, et toujours avec les proportions, j'ai tenté de trouver à quelle hauteur les échelles touchaient le mur opposé. À mon grand étonnement, les échelles touchent le mur à (4/x) des deux côtés, ce qui est profondément illogique si on y repense un peu.

J'ai revisé mes calculs plusieurs fois et j'arrive toujours à cette contradiction. J'ai farfouillé un peu la solution et j'ai constaté que le problème n'était pas du tout de mon niveau (jamais vu le théorème de thalès) mais cette contradiction me trouble pas mal alors le problème attire tout mon attention

Dernière chose, je n'ai pas encore trouvé comment créer un nouveau sujet. Habituellement dans les autres forums je vois un petit bouton qui apparaît mais là il semble absent, et comme je ne suis pas un expert en informatique me voilà déjoué

Merci d'avance!

[SunnySky]

J'ai attribué la valeur "x" à l'hyppoténuse d'un triangle rectangle du bas. Les hyppoténuses des trois autres triangles rectangles étaient donc de (4-x), (3x/4) et (3-3x/4).

x, ça va. 4-x, ça va. C'est après que ça bloque...

Ton 3x/4 supposerait que les deux échelles se coupent selon les mêmes proportions, ce qui n'est manifestement pas le cas. L'illustration montre d'ailleurs assez bien que la majorité d'une échelle (inclinée à 13h) est en haut du point de croisement alors que pour l'autre, c'est le contraire. Le rapport des longueurs d'échelles est bien 3/4, mais pas le rapport des hypothénuses.

Et ça, ça complique sérieusement le problème...

[invite5c2ce3dd]

Ton 3x/4 supposerait que les deux échelles se coupent selon les mêmes proportions, ce qui n'est manifestement pas le cas. L'illustration montre d'ailleurs assez bien que la majorité d'une échelle (inclinée à 13h) est en haut du point de croisement alors que pour l'autre, c'est le contraire. Le rapport des longueurs d'échelles est bien 3/4, mais pas le rapport des hypothénuses.

Je vois bien dans le schéma que les échelles ne sont pas coupées de manière proportionnelle. Pourtant, par le théorème A-A, les deux trianglais délimités par les échelles sont semblables. En effet, un angle est opposé par le sommet au point de croisement, et l'autre est alterne interne (les deux murs sont parallèles). Lorsqu'on vient pour faire les proportions, on se rend compte que les côtés homologues sont les morceaux respectifs de l'échelle à partir du point de croisement, ce qui nous indique que l'échelle est coupée en segments proportionnels.

En quoi ne pourrait-on pas dire que les deux triangles sont semblables?

[SunnySky]

Ces triangles sont semblables. C'est dans l'identification des côtés homologues que le problème se pose (à mon avis).

Si le triangle de gauche a comme côtés h1, x et 4-y alors que l'autre a comme côtés h2, 3-x et y, alors h1 est homolgue à h2, x est homologue à 3-x et 4-y est homologue à y.

J'espère:
1- que je ne me trompe pas
2- que tu comprendras ma notation

[invite5c2ce3dd]

Si le triangle de gauche a comme côtés h1, x et 4-y alors que l'autre a comme côtés h2, 3-x et y, alors h1 est homolgue à h2, x est homologue à 3-x et 4-y est homologue à y.

J'espère:
1- que je ne me trompe pas
2- que tu comprendras ma notation

Oui oui je comprends ce que tu veux dire. Pourtant, tout indique que les côtés homlogues sont les segments de l'échelle (x et 4-x par exemple). Je les ai peut-être mal identifié mais il me semble que les deux côtés situés entre les angles isométriques sont homologues.

[invite868903a6]

Hello Davido,

Une partie de tes calculs me semblent juste en fait.

J'ai d'abord tracé une ligne horizontale au niveau du croisement des échelles. Cela délimitait 4 triangles rectangles dont deux paires sont respectivement semblables. J'ai attribué la valeur "x" à l'hyppoténuse d'un triangle rectangle du bas

Nommons les 4 hypothénuses de tes 4 triangles rectangles :
En bas à droite x (échelle de 3), x' sa prolongation en haut à gauche,
en bas à gauche y (échelle de 4), y' sa prolongation en haut à droite.

Alors nous avons bien grâce aux triangles semblables l2/l1 = x/x' = y/y'
Or nous avons également x' = 3 - x et y' = 4 - y donc :
x/3-x = y/4-y, soit x = 3/4 y.

En revanche je ne suis pas sûr de ton raisonnement pour aboutir à une hauteur d'appui de 4/x ?

[invite5c2ce3dd]

J'ai refait le problème et il s'agit bien d'un erreur de ma part.
Il me manque encore quelques notions pour arriver à résoudre ce problème...

[Gawel]

Avec les théorèmes de Pythagore et de Thalès, via quelques développement linéaires, je tombe sur

X^3 - 2X² - 7X - 4 = 0
Avec X = racine (16 - largeur²)

"ya plus qu'à"

[Gawel]

Après un développement, l'équation du post précédent ne m'amène nulle part...

Bon, juste pour apporter une réponse concrète expérimentale, voilà un petit graphe en pièce jointe...

La réponse est d'environ 2,6m

[Gawel]

édité car en fait, je disais une bétise...

donc en reprenant Chaospace

Bon il faut utiliser Pythagore et Thalès, et plusieurs fois ^^
On arrive à cette équation :

 Cliquez pour afficher

(16-x²)^-1/2 + (9-x²)^-1/2 = 1

Je n'ai pas cherché davantage pour trouver les racines, car pas le temps, mais cette équation semble se vérifier pour la solution évoquée au dessus, trouvée de manière expérimentale.