Automorphisme

invitecbade190 · 20/12/2013, 22h46

Bonsoir à tous,

Soit $\text{[math]}$ une racine primitive $\text{[math]}$ - ième de $\text{[math]}$ .
On pose pour tout $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$

- Montrer que $\text{[math]}$ est un automorphisme de $\text{[math]}$ .
- Exprimer l'inverse de $\text{[math]}$ .

Merci d'avance pour votre aide.

**gg0** · 20/12/2013, 22h48

Conformément au règlement du forum (http://forums.futura-sciences.com/ma...ces-forum.html), commence à traiter ton exercice et reviens avec des questions précises.

invitecbade190 · 21/12/2013, 00h06

Bonsoir,
$\text{[math]}$ est clairement linéaire, et à valeurs dans $\text{[math]}$ donc c'est un endomorphisme de $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ étant de dimension finie, il suffit de montrer que $\text{[math]}$ est injective pour montrer que c'est un automorphisme de $\text{[math]}$ .

Pour l'injectivité, voiçi ce que je pense :

Il s'agit de montrer que : $\text{[math]}$ .

Soit $\text{[math]}$ telle que : $\text{[math]}$ .

Alors $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ .

En termes de matrices, celà s'exprime par :
$\text{[math]}$
Puisque :
$\text{[math]}$
car, c'est le détérminant de la matrice de Vandermonde, pour les racines de l'unité.

Alors :
$\text{[math]}$
D'où : $\text{[math]}$ .
Par conséquent : $\text{[math]}$ est injective.

Quel est l'inverse de $\text{[math]}$ ?

Merci d'avance.

**acx01b** · 21/12/2013, 01h08

écrit comme ça :

$\text{[math]}$

c'est la transformée de fourier discrète de

$\text{[math]}$

(qui est une suite de n valeurs)

tu peux inverser la transformée de fourier discrète et retrouver tes n points

si n est supérieur au degré de P alors tu peux retrouver le polynôme avec l'interpolation lagrangienne ?

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