Bonjour à tous,
Soit le système circulantavec
Pourquoi ce système peut se réecrire à l'aide d'un produit de convolution discret
Pourquoi la transformée de Fourier discrète transforme cette équation de convolution en un produit composante pas composante :
Comment en déduire
Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_circulante
Cordialement.
Pour
Parce que, par définition :
Mais, celà, ne represente jamais le système
Merci d'avance.
pour n = 3, tu as une matrice C 3x3 et deux vecteurs X et b de taille 3x1
la matrice C est circulante, elle est entièrement définie par un vecteur c de taille 3x1
tous les indices appartiennent à {0,1,2} et quand on écrit l'indice n-k on sous entend modulo 3
donc si n = 1 et k = 2 alors n-k = 2 (et pas -1 ! l'indice -1 n'existe pas ici)
une fois que tout ça est clair, il n'y a plus qu'à remarquer les produits de convolution circulaire,
et de se convaincre que la matrice de la transformée de fourier discrète transforme les produits de convolution circulaire en produits simples et réciproquement
Merci @acx01b pour ton aide, c'est très gentil.
En fait, voiçi où je bloque exactement :
ça ne marche pas, même quant je périodise.
Merci d'avance pour vos éclaircissements.
Un petit coup de main svp.
Merci d'avance.
qu'est-ce qui ne marche pas ?
- si je note Circ(c) la matrice circulante obtenue à partir de c,
- et a .* b le produit terme à terme des vecteurs a et b
- et M3 la matrice de la transformée de Fourier discrète de dimension 3 : M(n,k) = exp(-2 i pi n k / 3) , note que M3 (M3^H) = (M3^H) M3 = identité car M3 est orthonormée
(M3^H c'est la transposée du conjugué de la matrice M3)
alors le système
Circ(c) X = b
est équivalent au système
M3 Circ(c) X = M3 b
le point important c'est que
M3 Circ(c) X = (M3 c) .* (M3 X)
si bien qu'on a en notant Y = M3 X
(M3 c) .* Y = M3 b
qui se résout facilement
et enfin on trouve X avec X = (M3^H) Y
Dernière modification par acx01b ; 23/12/2013 à 11h17.
