Algebre Linéaire (Rangs et Dimensions)

[invitec5d4310d]

Bonjour, actuellement en Licence 2 de Physique, j'ouvre ce sujet pour un problème que je rencontre dans la compréhension de l'algèbre,
Tant au niveau du cours que des applications.

PS : J'ai déjà ouvert un sujet sur les bases, mais je préfère traiter ces deux problèmes séparément.
Ici, j'aimerais pouvoir comprendre les notions de Rangs et de Dimension.

A savoir, comment déterminer la dimension d'un espace vectoriel?
J'ai vu que cela pouvait être égal au cardinal d'une de ses bases, mais dans ce cas, en ayant la base, comment déterminer son cardinal ?

Pour le rang, il y aurait plusieurs méthodes de calcul, quelles sont elles exhaustivement et dans quels cas s'appliquent-elles ?
Si vous auriez un exemple, ce serait l'idéal.

Merci beaucoup de votre aide je l'espère,
et d'avance de vos réponses qui me seront très précieuses.
Car j'aimerais vraiment savoir maîtriser toutes les notions basiques de l'algèbre, mais elles me semblent encore un peu floues.

Bien Cordialement,
SuprAlgebra
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[gg0]

Bonsoir.

"en ayant la base, comment déterminer son cardinal ?" En comptant. Le cardinal de la base est le "nombre d'éléments". A priori, tu rencontreras essentiellement des bases finies, ou dénombrables (les autres, seuls certains matheux s'y intéressent).

Pour le rang, tu demandes un cours complet d'algèbre linéaire. Soit tu es en train de la faire, et tu verras; soit tu étudies seul, et ça viendra. Tu as sans doute déjà vu les méthodes par l'image d'une base, les déterminants et le théorème du rang; ça permet déjà de traiter pas mal de questions.

Cordialement.

[invitec5d4310d]

Merci,
donc si je comprend bien , soit B la base (1+x , -4 , x²/3). Son cardinal serait simplement de 3.
Ainsi la dimension de l'espace vectoriel dont B est la base, serait 3.

Y a t'il une autre méthode pour déterminer la dimension d'un e.v, en sachant que cette dimension est finie ??
Merci,

NB : Pour les rangs, je fais le cours seul donc je vais regarder les différentes méthodes de calcul, et vais m'essayer à la pratique.
Cordialement,

[gg0]

Il y a des tas de façons de déterminer la dimension d'un sous-espace vectoriel. Pour un espace vectoriel totalement nouveau, il faut généralement une base.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec5d4310d]

Il y a aussi par exemple la méthode avec la formule de Grassmann : dim(F+G) = dim(F) + dim(G) - dim(F inter G).
dans ce cas si F et G composent à eux deux seuls, l'espace vectoriel E , alors F inter G = E.
Non ?

Imaginons par exemple que j'ai un espace vectoriel E défini par une famille de vecteurs.
e₁ (1,2,3,4)
e₂ (2,4,6,8)
e₃ (0,0,0,1)
e₄ (2,0,0,0)

Comment pourrais-je faire pour en trouver la dimension ?
Il faudrait voir si il y a une base dans ce cas ?

(e3, e4) pourrait en être une ?

[gg0]

Il y a aussi par exemple la méthode avec la formule de Grassmann : dim(F+G) = dim(F) + dim(G) - dim(F inter G).
dans ce cas si F et G composent à eux deux seuls, l'espace vectoriel E , alors F inter G = E.
Non ?

Je ne comprends pas trop ce que tu racontes, ce que veut dire "composer". Un espace vectoriel est composé de vecteurs, pas d'espaces vectoriels. Ici, F et G sont des sous-espaces vectoriels de E. Veux-tu dire que F+G=E ? dans ce cas, leur intersection peut être n'importe quel sous-espace vectoriel de E, depuis {0_E} jusqu'à E lui-même.

Imaginons par exemple que j'ai un espace vectoriel E défini par une famille de vecteurs.
e₁ (1,2,3,4)
e₂ (2,4,6,8)
e₃ (0,0,0,1)
e₄ (2,0,0,0)

Comment pourrais-je faire pour en trouver la dimension ?
Il faudrait voir si il y a une base dans ce cas ?

Là encore, il y a quelque chose qui ne va pas : une famille de vecteurs d'un espace vectoriel donné E définit (on dit plutôt engendre) un sous-espace vectoriel de E. Si tu prends des éléments quelconques, il n'y a aucune raison de pouvoir fabriquer un espace vectoriel avec.
Ici, il semble qu'il s'agit d'une famille de vecteurs de (*). Et tu disposes donc d'une partie génératrice. or, de toute partie génératrice, on peut extraire une base. Donc comme tu as 4 termes, la dimension est au plus 4. Il est immédiat que e1 et e2 sont proportionnels, donc qu'on peut laisser de côté e2 (**). On a alors une famille génératrice à 3 éléments. reste à voir si c'est une base.

(e3, e4) pourrait en être une ?

Essaie de le prouver. Tu as la définition d'une base, tu sais comment on calcule, fais ...

Cordialement.

(*) Qui, muni des opérations habituelles sur les suites est un espace vectoriel réel. On additionne les suites terme à terme, et on multiplie la suite en multipliant chacun des termes. ici, la suite est à 4 termes.
(**) Tout ce qui est engendré par (e1,e2,e3,e4) est engendré par (e1,e3,e4). Si ce n'est pas évident pour toi, prouve-le.

[invitec5d4310d]

Merci encore de votre aide.
Je pense pouvoir prouver que considérer (e1,e3,e4) est pareil que de considérer (e1,e2,e3,e4) car e2=2*e1 donc les combinaisons linéaires considérées après seront simplement munies d'un facteur en plus, mais au final cela ne changera rien.

La famille (e3,e4) me semble être une base, car les vecteurs e3 et e4 n'ont jamais ''en même temps'' une coordonnée différente de 0.
Ainsi e3(0.0.0.1) et e4(2.0.0.0).
Si on pose SOMME(a_ie_i = x où x est un vecteur de e. Alors la famille est génératrice.
Petit problème, je ne pense pas que ce soit le cas. Car en combinant les deux choses, ou trouvera toujours un y, et un z égaux à 0.

Exemple : 8e3 + e4 = (2.0.0.8) et cela ne forme pas le vecteur e2 (2.4.6.8).
Si on avait :
e1 (1.2.3.4)
e2 (2.4.6.8)
e3 (1.0.0.0)
e4 (0.0.0.4)
e5 (0.2.0.0)
e6 (0.0.3.0)

Alors la famille (e3,e4,e5,e6) serait une base, car e1 s'écrit comme : e3 + e4+ e5+ e6.
Or a3*e3 + a4*e4 + a5*e5 + a6*e6 = 0 si et seulement si tous les a sont égaux à 0.

Donc c'est une base, de dimension 4.
?
Cordialement.

[invitec5d4310d]

Mais si je comprend mieux, je crois que cela commence à venir :

La famille (e1,e3,e4) considérée au début telle que :
e1(1.2.3.4)
e3(0.0.0.1)
e4(2.0.0.0)

c'est alors une famille génératrice car avec ces vecteurs on peut en écrire n'importe lequel comme combinaison linéaire de ces trois là.
Exemple :
Mais pour le vecteur u(4.4.3.12) par exemple. Il faudrait pour la deuxième coordonnée 2*e1. (2*2 =4).
Mais cela impliquerait un total de 2*3 = 6 pour la troisième coordonnée. Donc c'est impossible,
Je ne comprend vraiment pas.

[invitec5d4310d]

En d'autres termes, pour moi, la famille (e1, e3, e4) où

e1 = (1.2.3.4) //// e3 = (0.0.0.1) //// e4 = (2.0.0.0) EST GENERATRICE.
Car elle peut donner n'importe quel vecteur x de E.
comme E est engendré par ces vecteurs, ils font partie de E !?

Donc e1 = 1*e1...
...
Donc cette famille est bien génératrice. N'Est-ce pas ?

[gg0]

Si E est engendré par (e1,e3,e4), c'est une famille génératrice par définition de "engendré". Reste à savoir si elle est liée ou libre. Si elle est liée, un vecteur s'exprime en fonction des autres (voir un cours), donc on peut l'enlever et conserver une famille génératrice.

En fait, dans tout cela, tu restes un peu loin des choses. par exemple, tu n'as pas essayé de voir comment sont faits les éléments de E. C'est pourtant simple ! Et justifier sérieusement que e1 est dans E. Ou rédiger une preuve sérieuse du fait que (e1,e3,e4) engendre bien E.

Ne te contentes pas d'idées, rédige les démonstrations, fais les calculs. C'est ainsi qu'on apprend les maths (raisonner et calculer juste). écrire "Donc e1 = 1*e1..." ne fait pas une preuve !!!

[invitec5d4310d]

Merci,
Pour prouver que cette famille est bien génératrice, suffit-il de dire que les vecteurs de cette famille engendrent l'espace vectoriel E ?

Ensuite pour prouver qu'elle est libre on pourrait poser la combinaison linéaire des vecteurs de cette famille.

A savoir :

a*e₁ + b*e₃ + c*e₄

= (a,2a,3a,4a) + (0,0,0,b) + (2c,0,0,0)

Pour vérifier si la famille est libre, on peut alors poser ceci comme égal à 0 et regarder si il faut impérativement que a, b et c soient nuls.

Soit => a+2c = 0 (1)
2a = 0 (2)
3a = 0 (3)
4a + b = 0 (4)

Ainsi (2) et (3) impliquent nécessairement que a=0.
(1) => 2c=0 implique donc que c=0
(4) 4*0 + b = 0 implique que b=0.

Donc (e1,e3,e4) est génératrice et en plus libre, donc par définition c'est une base.
Son cardinal est de 3 ? Donc E est de dimension égale à 3.

Cordialement,

[invitec5d4310d]

Est-ce bien ça ?
Merci,

[gg0]

Si tu as appliqué les règles du cours, oui.
Sur ce genre de notions, il n'y a pas de raison de se tromper quand on applique les définitions et les théorèmes.
Et puis ton prof vérifiera ...