Algèbre linéaire

[invite4f299d99]

Bonjour à tous,

-J'ai un souci avec la définition d'une famille libre:
Soit (ei) (i appartenant à I qui peut être un intervalle infini), une famille d'éléments de E^I.
Cette famille est dite libre si toute sous-famille finie est libre.

Donc cela revient à dire qu'une famille infinie de vecteurs peut être libre?

-De même qu'un espace engendré par une famille de ce type qui est Vect(e1, ..., en) , c'est l'ensemble des combinaisons linéaires qu'on peut faire avec ces vecteurs... donc cet espace peut engendrer n'importe quoi puisqu'il y a une infinité de vecteurs?
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[erik]

Donc cela revient à dire qu'une famille infinie de vecteurs peut être libre ?

Oui par exemple l'espace vectoriel des polynômes d'indéterminée X est engendré par (par exemple) la famille libre infinie :

Et non, une famille libre infinie ne peut pas engendrer n'importe quoi, dans l'exemple que je te donne seuls les polynômes sont engendré par cette famille.

[invite61d256ed]

-Oui, une famille infinie de vecteurs peut être libre. Par exemple dans l'espace des polynomes, la familles des puissances successives de X est libre.

-La question est intéressante. Quand tu dis "engendrer n'importe quoi", tu veux bien dire engendre n'importe quel vecteur de l'espace vectoriel considéré, hein?
Dans ce cas, c'est vrai qu'on pourrait penser intuitivement qu'un famille libre infinie, puisqu'elle est infinie et de vecteurs de "directions" toutes différentes va forcément couvrir, par combinaison linéaire, tout l'espace vectoriel.
Mais c'est faux: prend l'espace des fonctions de R dans R, une base évidente est (Fi)(i apartient à R) avec Fi la fonction égale à 1 en i et nulle partout ailleurs. Toutes les fonctions s'écriront des manière unique comme combinaison des Fi, en regardant leur valeur en chaque point.
Maintenant, prend la sous famille de cette base définie par(Fi)(iappartient à [0,1]), elle est libre et infinie puisqu'on a une infinité de réels entre 0 et 1. Mais elle n'engendre que les fonctions allant de [0,1] à R.

[invite61d256ed]

erik quand il dit engendrer n'importe quoi je pense qu'il veut dire n'importe quoi dans l'espace d'étude. Il doit bien se douter que des polynômes vont pas engendrer des matrices.

[A voir en vidéo sur Futura]

[erik]

va savoir .....
Dès qu'il est question d'infini, on a parfois à faire face à des conceptions curieuses.