bonjour à tous,
on connaît le théorème de décomposition unique en produit de nombres pemiers dans Z et les (anneaux des entiers des) extensions finies de Q, ou dans les anneaux de polynômes. Mais je n'ai jamais entendu parler de la même chose pour les anneaux de matrices. Est-ce dû à mon inculture ou bien est-ce que cette notion n'a pas d'intérêt?
Parce que non commutatif, peut-être?
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Bonjour.
Dans le cas général, la multiplication n'est pas toujours définie. Restons donc avec les matrices carrées. Si A est une matrice, et B une matrice inversible, A est toujours multiple de AB-1. Ce qui limite l'intérêt.
On peut alors se restreindre à des matrices sur des anneaux, et appeler "unités" les matrices inversibles. On est alors dans le cadre classique de l'arithmétique sur les anneaux, qui traite de ces questions. J'ai presque tout oublié de ces sujets depuis l'époque où j'avais regardé. Mais on doit trouver facilement ...
Cordialement.
Bonjour,
La décomposition en produit d'un inversible et d'irréductibles se prouve dans les anneaux factoriels, ce qui n'est pas le cas des anneaux de matrices
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Merci Médiat,
je n'étais plus sûr de ça.
Et la non commutativité est aussi un facteur de difficultés).
Cordialement.
oui j'avais oublié de préciser : je pensais à l'anneau des matrices carrées, disons nxn sur un corps, n>1. Effectivement il n'est pas factoriel (il n'est même pas intègre).
En fait j'essayais de trouver la réponse à une question posée sur un autre fil, qui est de montrer qu'une certaine matrice (carrée) n'a pas de racine carrée. Cette matrice peut s'écrire comme le produit d'une matrice de projection par une matrice de rotation. Je me demandais si on pouvait en quelque sorte calquer la démonstration du fait que 2 n'a pas de racine carrée dans Q.... bon, je vais continuer à creuser un peu cette voie.
je reviens sur cette question : je ne suis pas arrivé à trouver une matrice irréductible (matrice qui ne peut se mettre sous la forme d'un produit de deux matrices non inversibles). Est-ce que ça existe?
d'ailleurs je me demande si dans la définition de l'irréductibilité, on peut accepter une décomposition comme x=xy x,y non inversibles.
Si par exemple je prends la matrice A dont les colonnes sont ((0,0),(1,0)). Elle est le produit de B=((1,0),(0,0)) et elle-même, A=BA.
