Bonjour...
J'ai lu que le paradoxe d'Achéron (Pour parcourir la totalité du chemin une flèche a dû en parcourir la moitié*; or pour parcourir cette première moitié elle a déjà dû en parcourir la moitié et ainsi de suite. Donc elle n'est jamais arrivée) est résolu par le calcul différentiel.
Est ce que quelqu'un peut m'expliquer?
Bonjour,
Ce paradoxe fait partie des paradoxes de Zenon (-490;-430)
http://www.sciences-en-ligne.com/mom...th/accueil.htm
(chercher "Zenon" dans la liste alphabétique)
qui aurait du remettre en cause son axiome du temps "insécable"...
Mais je crois qu'il s'énonce ainsi: "Pour atteindre la cible, le flèche doit parcourir la moitié de la distance qui la sépare de la cible, puis la moitié de la distance qui reste, puis la moitié de la distance qui reste etc. Elle ne peut donc atteindre la cible."
On dit souvent que ces paradoxes ont été définitivement levés par le calcul différentiel et la notion de limite. En réalité, les outils ont été mis en place progressivement:
en 365; 300 avant JC: Livre X des éléments d'Euclide. "Etant données deux longueurs inégales, si de la plus grande on retranche plus que sa moitié, puis du reste obtenu, on retranche plus que sa moitié et si l'on continue toujours ainsi, nous aboutirons ainsi à une grandeur plus petite que la plus petite des grandeurs données" (auteur probable Eudoxe)
On sent poindre presque la définition d'une limite vers zero d'une suite géométrique de raison 1/2.
en 287; 212 avant JC: Archimède utilise a fond cet axiome pour mettre en place une méthode dite d'exhaustion, cet axiome finira même par porter son nom. Il utilise cet axiome pour montrer l'égalité entre deux quantité: en supposant les quantités différentes, il utilise l'axiome d'Euclide pour arriver à une contradiction donc les quantités sont égales.
en 1584;1667 après JC : Grégoire de Saint Vincent énonce la notion de limite d'une série géométrique en ces termes
"le terme d'une progression est la fin des séries à laquelle aucune progression ne peut aboutir, s'il nous est permis de la poursuivre à l'infini, mais à laquelle il est possible d'accéder d'aussi près que l'on veut" et démontre que si k est plus petit que 1 , la serie de premier terme kAB et de raison k converge vers AC.
Il en profite pour démolir le paradoxe de Zenon: Zenon nous fait prendre pour une suite arithmétique les intervalles de temps entre chaque étape de la course d'Achille àlors que ces intervalles sont géométriques. Zénon ne pouvait l'imaginer puisqu'il voyait le temps insécable.
Voici donc trois personnages qui parlaient déjà de limites mais avec des précautions infinies et un vocabulaire lourd.
Il faut attendre la formalisation du calcul infinitésimal (Leibnitz 1646-1716) pour que ces notions soient plus clairement exprimées. Le calcul différentiel (Newton 1643-1727) s'interesse d'avantage aux dérivées ou fluxions qu'aux limites. Ces deux découvertes contemporaines ont fini par n'en faire qu'une appelée calcul différentiel mais rendons à Leibnitz ce qui lui appartient: le calcul infinitésimal et la notion de limite.
Merci,
Je comprends mieux l'évolution de cette idée. Sauf au sujet du "temps insécable". En quoi la conception du temps de Zénom est elle différente de la notre?
Il faudrait le lui demander....
Il m'est aussi difficile qu'à toi de le comprendre:
En gros, pour nous, tout intervalle de temps peut être divisé en 2.
je pense que pour lui, le temps était discret. Si l'intervalle de temps correspond à une unité, il ne peut pas être divisé davantage.
Comme il sentait bien qu'il pouvait toujours diviser une distance en 2, le fait qu'il ne pouvait pas le faire pour le temps lui semblait à juste titre paradoxal.
Mais si un spécialiste de Zenon voulait nous préciser sa pensée, je ne serait pas contre.
Excusez-moi d'insister, mais j'ai jamais compris pourquoi le paradoxe de zenon était faux, et comment le demontrer...
Pourriez-vous m'éxpliquer svp
merci
As-tu regardé le lien que je donne sur chronomath ? (il faut chercher à Z puis Zenon dans la liste alphabétique en frise en haut de la page)
Je crains seulement de paraphraser son explication
Je te propose d'aller la lire puis de la commenter éventuellement ici.
Une somme infinie existe....
A bientôt
hé oui, seul la physique résoud ce problème simplement.
Comment?
...
la flèche part avec une vitesse et arrive à un point parfaitement défini...
et si par ton modèle, la flèche n'arrive jamais, c'est qu'il est faux.
l'expérience, ya que ça de vrai.
non, mais faut pas prendre sérieusement ce que je dis.
Ah oui, je comprends
Pour le théoricien, la flèche n'arrive jamais, mais pour le praticien elle atteint son but.
Quel monde fantastique que celui du théoricien où tout est si bizarre.
Mais arrêtons ce délire avant que la modération ne s'en mêle.
Ps: ce n'est pas mon modèle mais celui de Zenon, et il est faux tout le monde s'en doute un peu...
Non, non, non... Zénon savait très bien que la flèche arrivait; d'après ce que j'ai pu comprendre, c'est justement le fait qu'elle arrive qui lui permettait prétendre que l'espace et le temps étaient discrets (sur le modèle atomiste)
Mais son paradoxe n'a pas servi à prouver ce qu'il disait (car le temps comme l'espace ne sont pas discrets- c'est à dire composés de parties indivisibles ou insécables), par contre il a permis ,longtemps après lui, à d'autres d'inventer le calcul différentiel avec celui des limites.
Et aujourd'hui on comprend ( enfin on essaie... :?) qu'une quantité finie (une distance p.ex.) peut contenir une infinité de points. Pouratnt cette distance reste finie. Et donc la flèche arrive.
En fait le paradoxe c'est qu'un truc fini contienne une infinité d'un autre truc.
A ce propos (le ridicule ne tue toujours pas j'espère ) :P je me demande comme ça en passant, si on ne pourrait pas réactualiser les idées de Zénon à la lumière de la physique contemporaine, et en particulier dans le cadre de la théorie des cordes..? Est ce qu'on ne pourrait pas finalement décrire le temps et l'espace comme des objets discrets...?
Z'en pensez...?
Salut,
la vérité c'est que la flèche n'arrive jamais, puisque les atomes de la pointe de la flèche n'entre pas en contact avec ceux de la cible (à moins que la vitesse ne soit suffisante que pour provoquer une réaction nucléaire).
D'autre part le temps il n'est pas fou je pense de considérer les distances et le temps comme discrets eut égard à la longueur et au temps de Planck.
Damon
Un EeePc ça change la vie !
Est ce que tu peux préciser, s'il te plait?Envoyé par Damon
ops:
re,
bon alors je donne les valeurs :
Durée : 5,4 10<sup>-44</sup> s ( quelques exemples de durée)
Longueur : 1,62 10<sup>-35</sup> m ( quelques exemples de longueur )
En fait il n'est pas possible d'effectuer des mesures en dessous de ces valeurs, la physique telle que nous la connaissons y perd son sens.
Pour le pourquoi du comment du parce-que, tu devras attendre la venue de quelqu'un qui maîtrise le domaine mieux que moi.
Un EeePc ça change la vie !
Salut,
Il y a un sujet sur les unités de Planck dans la rubrique Physique, avec notamment un lien intéressant:
http://membres.lycos.fr/boisse/cosmo...smo-maths.html (cf "Conditions de Planck" au milieu de la page)
