Topologie d'un espace métrique

[invite1afd63ae]

Bonsoir à tous,

Voilà y a un exercice que j'aimerai bien faire mais je n'y arrive pas du tout ! Voici l'énoncé :

Soient (E,d) et (E',d') deux espaces métriques et une application continue.

1) Montrer que pour toute partie , on a l'inclusion .
2) Montrer que si est compact, alors on a l'égalité .
3) On considère le cas particulier , (munis des distances euclidiennes) et .
Montrer que est une partie fermée de E mais que .

Si quelqu'un peut m'aider
Merci d'avance
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[gg0]

Bonjour.

Pour la première question, tu prends un , en traduisant ce que ça veut dire (dans un métrique tu dois pouvoir utiliser des suites), puis tu démontres que .
Commence à le faire, et si tu bloques, écris ici ce que tu as fait.

Bon travail !

[invite1afd63ae]

Merci d'avoir répondu

Soit . Alors tq .

Mais je vois pas comment continuer ...

[inviteea028771]

Après tu utilises la continuité de f : que sais tu de la suite f(x_n) si x_n tend vers x?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1afd63ae]

Ah oui car f est une application continue.
Du coup il reste à montrer que c'est ça ?

[inviteea028771]

Ah oui car f est une application continue.
Du coup il reste à montrer que c'est ça ?

N'as tu pas déjà une suite d'éléments de f(A) qui tend vers f(x)?

[invite1afd63ae]

Je vois pas trop

[gg0]

Là, tu galèges !

Tu en as parlé !!

[invite1afd63ae]

Ben on a qui appartient à et qui tend vers qui appartient à

[inviteea028771]

Ben on a qui appartient à et qui tend vers qui appartient à

Si il existe une suite d'éléments de f(A) qui tend vers c=f(x), alors c appartient à l'adhérence de f(A)

[invite1afd63ae]

Ah oui c'est vrai

Vous savez comment commencer la question 2 ?

[gg0]

Comme on a déjà l'inclusion dans un sens, il faut démontrer l'inclusion inverse. Donc on part d'un , on applique la définition de , plutôt en termes d'ouverts (de voisinages, mais ouverts) puisqu'il est question de compacts.

Je n'ai pas regardé jusqu'au bout, mais c'est ce que j'aurais essayé. En revenant à A, puisque c'est lui qui est compact.

Cordialement.

NB : Il serait bon que tu essaies, toi aussi, de choisir comment débuter les questions. A part s'appuyer sur le cours et ce qui est dit dans l'énoncé, il n'y a pas de méthode miraculeuse.

[invite1afd63ae]

Oui j'aimerai bien réussir à démarrer les exercices mais en topologie j'y arrive vraiment pas ...
Merci pour tes réponses

[gg0]

Là, tu as deux exemples de démarrage évidents : On veut montrer que .. ce qui veut dire ...

Le plus délicat n'est pas de démarrer, mais d'aboutir.

Cordialement.