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Résolution d'équation du 3ème degré



  1. #1
    kNz

    Résolution d'équation du 3ème degré


    ------

    Bonjour,

    Je voulais juste savoir comment on pouvait résoudre une équation du 3ème degré de la forme

    Merci beaucoup.

    kNz.

    -----

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  3. #2
    matthias

    Re : Résolution d'équation du 3ème degré

    Fais une recherche sur la méthode de Cardan.
    Sinon j'ai prévu de poster bientôt un sujet là-dessus dans le forum révisions, mais faudrait que j'ai le courage ...

  4. #3
    Keorl

    Re : Résolution d'équation du 3ème degré

    Il a été démontré qu'on ne peut pas résoudre les équestions de dégré supérieur ou égal à 3, à moins bien sur de pouvoir facoriser, de trouver des racines évidentes, ou de povoir changer d'indonnue (a+ b*x²+c*x^4 on pose X=x², et pour a+bx^3+cx^6, on pose X=x^3 .....).

    Pour les autres équations, c'est à dire la pluspart, il te faudra utiliser une méthode itérative pour te rapprocher des racines:
    -tableau de variations pour savoir entre quoi et quoi sont chaqune des racines.
    -pour chaque racine:
    prendre un a situé avant, un b situé après. f(a) et f(b) de signes différents (on a bien choisi a et b avec le tableau). On prend d=(a+b)/2.
    Et on recommence avec a et b l'un remplac&#233; par d, l'autre restant identique, de sorte que f(a1) et f(b1) de signes diff&#233;rents (si f(d)>0 et f(b)<0, on prend au 2eme tour a1=d et b1=b. ...).
    Et ce jusqu'&#224; ce qu'on ait trouv&#233; un encadrement de la racine (qui est entre an et bn) suffisemment petit pour ce qu'on veut faire.


    Pour aider, il a aussi &#233;t&#233; d&#233;montr&#233; que pour une &#233;quation de d&#233;gr&#233; n il y a au plus n racines.

  5. #4
    Keorl

    Re : Résolution d'équation du 3ème degré

    "la m&#233;thode de Cardan"?
    &#231;a permet les &#233;quations de d&#233;gr&#233; 3?
    alors je me suis, tromp&#233;, c'est peut-&#234;tre &#224; partirs du d&#233;gr&#233; 4 qu'on ne peut plus r&#233;soudre.
    En effet, maple peut donner les r&#233;sultats pour l'&#233;quation g&#233;n&#233;rale. Mais les formules sont &#233;normes!

    d&#233;sol&#233;, mes plus plates excuses

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    matthias

    Re : Résolution d'équation du 3ème degré

    Citation Envoyé par aze555666
    Il a été démontré qu'on ne peut pas résoudre les équestions de dégré supérieur ou égal à 3, à moins bien sur de pouvoir facoriser, de trouver des racines évidentes, ou de povoir changer d'indonnue (a+ b*x²+c*x^4 on pose X=x², et pour a+bx^3+cx^6, on pose X=x^3 .....).
    Les équations polynomiales de degré supérieur ou égal à 5 ne sont pas solubles par radicaux.
    Pour les degrés 3 et 4 il existe des méthodes qui permettent de se ramener à une ou plusieurs équations de degré inférieur et donc de les résoudre (voir Cardan, Tartaglia, Ferrari, etc).

    Il me semble avoir lu dans "La Recherche" que des mathématiciens avaient étudié tous les cas possibles pour des polynômes de degré 5 et 6 et qu'on savait les résoudre, mais j'avoue que je ne vois pas bien en quoi c'est compatible avec la non-solubilité par radicaux ...

  8. #6
    Bleyblue

    Re : Résolution d'équation du 3ème degré

    C'est intéressant comme sujet.

    Je confirme que les éq. polynamiales de degré 3 et 4 sont résolubles par radicaux et qu'il a été démontrer par Abel et Galois que c'était impossible pour les degré plus grand ou égale à 5.

    Mais "par radicaux" ça veut dire en n'utilisant que des opérations algébriques élémentaires (+*,-,/ et exctractions de racines)

    Je ne connais aucun théorème qui dit qu'à l'aide de fonctions transcendantes par exemple on ne pourrait pas trouver une formule générale qui nous fournisse les solutions d'une équations polynômiale de degré n > 4

    Sinon pour la méthode de Cardan moi je veux bien la poster ici (+ explications) si ça intéresse quelqu'un mais pas maintenant car je vais pas tarder à aller me coucher

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  10. #7
    kNz

    Re : Résolution d'équation du 3ème degré

    Bonjour,

    Oui moi ! ça m'intéresse BleyBlue !

    J'ai déjà compris le principe général lorsque j'ai été voir sur wikipédia, mais j'ai parfois du mal pour trouver les racines finales, donc si il pouvait y avoir une petite explication pour un néophyte

    Merci.

    Cordialement.

  11. #8
    fapir

    Re : Résolution d'équation du 3ème degré

    Il y aurait peut être moyen en factorisant et en trouvant une sorte de forme cannonique mais c'est long .

  12. #9
    matthias

    Re : Résolution d'équation du 3ème degré

    Pour factoriser, il faut déjà avoir une solution. Les méthodes sont un peu plus subtiles que ça
    Je vais faire un effort pour poster un sujet ce weekend.

  13. #10
    g_h

    Re : Résolution d'équation du 3ème degré

    Hello,

    Pour la méthode de Cardan, voici un article où je trouve que c'est très bien expliqué !

    http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Cardan
    (à partir de "principe de la méthode")

  14. #11
    Herbiti

    Re : Résolution d'équation du 3ème degré

    Citation Envoyé par aze555666
    Il a été démontré qu'on ne peut pas résoudre les équestions de dégré supérieur ou égal à 3
    Supérieur ou égal à 4.
    J'ai du démontrer la méthode pour le quatrième degré, alors, je suis sûr qu'elle existe

    Mais il a démontré par Galois et Abel qu'au dessus du quatrième degré, les polynomes ne sont pas solubles par radicaux.

    BleyBlue le confirmera
    Herbiti

  15. #12
    Herbiti

    Re : Résolution d'équation du 3ème degré

    Citation Envoyé par Herbiti
    BleyBlue le confirmera
    Désolé, j'avais pas tout lu
    Herbiti

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  17. #13
    martini_bird

    Re : Résolution d'équation du 3ème degré

    Salut,

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Je ne connais aucun théorème qui dit qu'à l'aide de fonctions transcendantes par exemple on ne pourrait pas trouver une formule générale qui nous fournisse les solutions d'une équations polynômiale de degré n > 4
    A l'aide d'un nouveau symbole (dont je ne me souviens pas de la définition) ou des fonctions elliptiques on peut résoudre les équations de degré 5.

    Ceci étant, c'est un problème bougrement intéressant de savoir si l'ajout d'une seule fonction permettrait d'exprimer toutes les solutions d'équations algébriques! (mon petit doigt me dit que ce n'est pas possible, mais il a rarement raison )

    Cordialement.

  18. #14
    deiki

    Re : Résolution d'équation du 3ème degré

    J'ai un petit cours en pdf sur le sujet.
    Voilà l'url :

    http://files.filefront.com/deg3pdf/;.../fileinfo.html

    Dites-moi si y a un problème pour le téléchargement.
    Dernière modification par deiki ; 05/02/2006 à 17h53.

  19. #15
    Bleyblue

    Re : Résolution d'équation du 3ème degré

    Ah excusez moi mais il se fait que j'avais totalement oublier ce topic (d'où le retard de ma réponse )

    Alors :

    Citation Envoyé par kNz
    Oui moi ! ça m'intéresse BleyBlue !
    Si ça t'intéresse toujours je peux poster mais apparament c'est assez bien expliqué sur Wikipédia


    Citation Envoyé par martnini_bird
    A l'aide d'un nouveau symbole (dont je ne me souviens pas de la définition) ou des fonctions elliptiques on peut résoudre les équations de degré 5.
    Ah pas mal ça
    Les fonctions elliptiques j'ai déja vaguementrentendut parler (ça intervient dans la démonstration du théorème de Fermat non ?)

  20. #16
    eliasze

    Re : Résolution d'équation du 3ème degré

    Bonjour,
    Pourriez vous m'aider à résoudre cette équation :
    2x^3+x²-8x-3=0
    Merci d'avance.

  21. #17
    abdoupac

    Re : Résolution d'équation du 3ème degré

    Citation Envoyé par aze555666 Voir le message
    Il a été démontré qu'on ne peut pas résoudre les équestions de dégré supérieur ou égal à 3, à moins bien sur de pouvoir facoriser, de trouver des racines évidentes, ou de povoir changer d'indonnue (a+ b*x²+c*x^4 on pose X=x², et pour a+bx^3+cx^6, on pose X=x^3 .....).

    Pour les autres équations, c'est à dire la pluspart, il te faudra utiliser une méthode itérative pour te rapprocher des racines:
    -tableau de variations pour savoir entre quoi et quoi sont chaqune des racines.
    -pour chaque racine:
    prendre un a situé avant, un b situé après. f(a) et f(b) de signes différents (on a bien choisi a et b avec le tableau). On prend d=(a+b)/2.
    Et on recommence avec a et b l'un remplacé par d, l'autre restant identique, de sorte que f(a1) et f(b1) de signes différents (si f(d)>0 et f(b)<0, on prend au 2eme tour a1=d et b1=b. ...).
    Et ce jusqu'à ce qu'on ait trouvé un encadrement de la racine (qui est entre an et bn) suffisemment petit pour ce qu'on veut faire.


    Pour aider, il a aussi été démontré que pour une équation de dégré n il y a au plus n racines.
    ce quil faudré demontrer C quil nyaura dor et deja auc1e equation irresoluable
    http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9...e_degr.C3.A9_3

  22. #18
    breukin

    Re : Résolution d'équation du 3ème degré

    Attention à la signification de "algébrique". C'est un concept abstrait, qui conduit à extraires des racines cubiques de nombre complexes (pour la méthode de Cardan).
    Mais si l'on veut calculer explicitement par radicaux les parties réelles et imaginaires des racines cubiques, alors on retombe en boucle sur le même problème.
    Pour les équations de degré 3 à coefficients réels, la méthode de Cardan ne donne un résulat avec radicaux réels que dans le cas d'une racine réelle. Lorsqu'il y a trois racines réelles, elle amène à calculer des racines cubiques de nombres complexes.
    En revanche, dans ce dernier cas, il y a une résolution trigonométrique qui founit les 3 solutions réelles sous forme d'arc cos, mais ce n'est plus algébrique par radicaux.

    Soit x3+x2/2–4x–3/2 = 0
    On pose x=y–1/6 pour supprimer le terme du second degré.
    D'où y3–49y/12–89/108 = 0 si je n'ai pas fait d'erreur (y3 + py +q = 0).

    On a 4p3+27q2 = –254 sauf erreur.

    On a donc 3 racines réelles, mais les formules de Cardan sont inapplicables dans les réels, car il faut calculer les racines cubiques de : 89/216 ± (i/6) √(254/3)

  23. Publicité
  24. #19
    invite91724928

    Re : Résolution d'équation du 3ème degré

    Slt les cerveaux , C'est juste la chance que les mathematiciens ont pu resoudre l'equation de 2 iem degré , ils ont pu detruir le coeur de l'expression ax²+bx+c le coeur c ( bx ) puisque une transformation nous ramene à la forme a(X²-T) par contre le coeur de lexpression aX^3+bx²+cx+d impossible de detruir le coeur bx²+cx il nya pa une methode generale canonique, la solution existe mai elle refuse de se devoiler pas des nombres qui n'arrivent pas à l'exprimer. j'ai fait de recherches en ça jai trouvé il fout formater l'ensemble R et la reinstaller , il ya des erreur surement que les sciientifikes ont laissé passé ne pensez pas à resoudre ce genre dequations avec les donnés actuelles c juste des approximations vous devez pensez à inventer de nouveaux nombres qui peuvent exprimer cette povre solution qui ne trouve pas son image .imaginez qu on pe resoudre nimporte equation meme ax^9+bx^8+....... ça sera une revolution puisque la solution de ces equations va ameleoreer surement les autres recherches en physike chimie ...... c'est un grand secret , pourtant on pe eleminer le coeur partiellement de nimporte kelel equation ça va juste simplifier ça ve dire x^3+bx²+cx+d peut se transformer soit à X^3+iX+j ou Y^3+eY²+f avec sous des conditions , meme les autres equations de grandes degré peuvent etre simplifiés mai tjr la solution canonike reste inconnue , en ce cas il reste 2 methodes que je conseille les chercheurs de suivre sils veulent trouver la solution des equations superieur ou egals 3 . la premiere est de supposer la forme de la solution comme le cas du 2iem degré la forme est ( i-j ou i+j) . bonne chance

  25. #20
    Nox

    Re : Résolution d'équation du 3ème degré

    Bonjour,

    Citation Envoyé par rend85 Voir le message
    c'est un grand secret
    Effectivement vu la manière obscure dont cela est présenté on comprend que ça relève du secret ... Serait-il possible d'avoir une réponse détaillée et pédagogique plutôt qu'un message à demi ironique se terminant par un :

    Citation Envoyé par rend85 Voir le message
    bonne chance
    dont on se demande l'utilité ...

    Cordialement,

    Nox
    Nox, ancien contributeur des forums de maths et de chimie.

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