Un cercle, des groupes et des morphismes

[doul11]

Bonsoir,

Quelle est la différence entre , , , et

Est-ce que la matrice peut être une représentation d'un ou des groupes cité ci-dessus ? Que peut-on dire en terme d'ensemble de forme linéaire ?


Je ne suis pas étudiant et ce n'est pas un exercice, j'essaye de comprendre ces notion mathématiques et n’hésitez a me dire si je suis complètement a coté de la plaque, je ne vous en voudrez pas La seule chose dont je suis presque sur est que est isomorphe a est qu'il y a de ça qui ce cache là dessous.

Merci.
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[Mocassins]

Bonsoir,

Alors, est communément appelé(e) la sphère unité, c'est l'ensemble des points de sur le cercle de centre et de rayon (la distance étant la distance euclidienne classique)

est le groupe des unités de , l'ensemble des complexes de module . (c'est un sous-groupe important de .

Si on munit de la loi qui à deux points du cercle associe le point du cercle d'angle la somme des angles des deux points, alors et sont isomorphes via l'application qui à un point d'angle sur le cercle associe le complexe d'argument c'est à dire .

est le groupe orthogonal d'ordre 2, l'ensemble des matrices 2x2 de réels vérifiant , où est la matrice identité de . C'est un groupe pour la multiplication de matrices.

est le groupe spécial orthogonal d'ordre 2, sous-groupe de des matrices de déterminant égal à 1.
Le dernier ensemble est aussi ; les matrices de sont exactement celles de cette forme.

et sont isomorphes. Encore une fois, l'isomorphisme "canonique" est celui qui associe entre eux les éléments liés aux mêmes angles.


Tu peux voir que , et diffèrent par leurs natures puisqu'ils ne contiennent pas les mêmes types d'éléments, mais sont très semblables (isomorphes en tant que groupes "multiplicatifs").
L'intrus est , qui n'est isomorphe à aucun de ces groupes (car il contient une infinité d'éléments dont le carré est le neutre, alors que les autres n'en contiennent que deux)


Tu pourras voir en trouvant des documents sur la construction du corps des complexes, que selon constructions, , et dans ce contexte, . Tu trouveras plein d'infos supplémentaires sur internet.

[doul11]

Merci bien pour ces explication, c'est maintenant plus clair pour moi.

Tu pourras voir en trouvant des documents sur la construction du corps des complexes, que selon constructions, , et dans ce contexte, . Tu trouveras plein d'infos supplémentaires sur internet.

J'ai regardé l'excellent document fait par les membres du ce forum Ensembles de nombres, qui me conforte dans l'idée que l'on peut voir derrière tout ceci une notion d'espace vectoriel bien que je n'arrive pas a en saisir le moidre détail

[taladris]

Salut,

etant un corps, c'est naturellement un -espace vectoriel (la multiplication par un scalaire etant la multiplication - interne - de ).

C'est aussi un -espace vectoriel pour les memes lois, la multiplication par un scalaire etant cette fois-ci la multiplication interne restreinte aux reels. On peut verifier que 1 et i forment une base de en tant que -ev, donc est isomorphe a . D'ailleurs, une construction courante de est juste de prendre et de lui ajouter une multiplication qui en fait un corps:



avec la notation tres pratique (avec cette notation, on a directement pour tous reels et )

Donc est plus qu'un -espace vectoriel isomorphe a . Sa multiplication en fait une -algebre.

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[acx01b]

quels sont les sous-groupes du cercle unité ?

[invite47ecce17]

Bonjour,
Les sous groupes finis (ou meme discret ce qui revient au meme) sont les sous groupes d'un groupe des racines n-ieme de l'unité, cyclique donc. Les autres sont denses.

[acx01b]

oui si ils ne sont pas finis alors ils sont denses. Mais ça a un sens par exemple de faire le groupe quotient de (le groupe ) par le groupe cyclique engendré par ?

Et le groupe engendré par il est dense dans mais il est forcément dénombrable, non ?
Et ça a un sens de faire le quotient de par ?
Je pense que non donc ??

[invite47ecce17]

oui si ils ne sont pas finis alors ils sont denses. Mais ça a un sens par exemple de faire le groupe quotient de (le groupe ) par le groupe cyclique engendré par ?

Ben oui ca un sens, en l'occurence on obtient la meme chose, S1/e^{2i\pi/n Z}=S1.

Et le groupe engendré par il est dense dans mais il est forcément dénombrable, non ?

Oui il est dense, et denombrable.

Et ça a un sens de faire le quotient de par ?
Je pense que non donc ??

Ca a toujours un sens de faire le quotient d'un groupe par un sous groupe distingué, ici U(1) etant commutatif on peut toujours faire le quotient de U(1) par un sous groupe.
Il est bien sur faux que {e^{in}, n\in Z}=U(1), pour de betes raisons ensemblistes.

[Amanuensis]

Annulé... devenu inutile

[invite47ecce17]

Si on munit de la loi qui à deux points du cercle associe le point du cercle d'angle la somme des angles des deux points, alors et sont isomorphes via l'application qui à un point d'angle sur le cercle associe le complexe d'argument c'est à dire .

Au passage, j'avais zappé ça, mais c'est faux (meme en rajoutant l'etoile qui manquait) cette application n'est pas injective
Edit: en fait je ne sais pas si C^* et S1 sont isomorphes en tant que groupes. Re Edit: Ok, en fait ils le sont mais l'argment donné ne fonctionne pas. Ils ne le sont pas en tant que groupe topologiques.

[Amanuensis]

Pas C, mais pas non plus C*, mais U(1), non? Cela amène l'isomorphisme et paraît une meilleure correction de la typo.

À part ça, quel exemple proposer pour un isomorphisme de groupe entre (U(1), x) et (C*, x) ?

[invite47ecce17]

Pas C, mais pas non plus C*, mais U(1), non? Cela amène l'isomorphisme et paraît une meilleure correction de la typo.

Je ne sais pas, je ne pense pas vu que Mocassins parle d'associer à un point A d'angle t, l'element e^it. Donc je pense qu'il parlait de C^*, apres je ne suis pas dans sa tete (il dit d'ailleurs ensuite que SO(2) et C^* sont egalement isomorphe par le meme argument).

À part ça, quel exemple proposer pour un isomorphisme de groupe entre (U(1), x) et (C*, x) ?

On peut proceder comme suit.
On note que R^2 et R sont tous deux isomorphes en tant que groupe (ils le sont en tant que Q-ev), mieux on peut trouver un isomorphisme qui envoie 1 sur (1,0) par l'axiome du choix, donc R/Z est isomorphe a RxR/Z, mais ce dernier est isomorphe a C^* par l'exponentielle du premier terme fois l'exponentielle de i fois le second terme.

[Mocassins]

Je me suis trompé, je voulais dire " isomorphe à " effectivement.
Idem pour .
Et puis un moyen plus simple de voir que diffère des autres ensembles est qu'il n'est pas commutatif.

@MiPaMa: Peux tu détailler la raison pour laquelle et sont isomorphes?

[acx01b]

je n'arrive pas trop à me représenter ce qu'est le groupe multiplicatif quotienté par

Il y a un algorithme capable de dire pour qu'il n'existe pas d'entier relatif n tel que
?

[invite47ecce17]

Oui bien sur.
R² et R ont meme cardinal, et ce sont tous les deux des Q-espaces vectoriels de façon naturelle. Leur dimension sur Q est la meme et vaut le cardinal de R.
Si on prend 1 (resp. (1,0)) c'est une famille libre de R (resp R^2), on peut donc la completer en une base de R (resp. R²), notons (a_x)_{x\in R} (resp. (b_x)_{x_in R}) la base de R (resp. R²) obtenue avec a_0=1 (resp b_0=(1,0)).
Il existe donc un isomorphisme Q-linéaire de R sur R² envoyant a_i sur b_i (donc 1 sur (1,0) en particulier).
On obtient donc un isomorphisme de groupe entre R et R² qui envoie 1 sur (1,0). On en déduit un isomorphisme de groupe entre R/Z.1 et R²/Z.(1,0)=R/ZxR.

[Mocassins]

Merci bien!