Morphismes de groupes cyclques et générateurs

invite97a526b6 · 02/05/2009, 18h05

Bonjour,
Je voudrais démontrer cette proposition qui me semble exacte:

Soit h : C_n ---> C_m un morphisme de groupes cycliques.
Par hypothèse <a> = C_n (c'est à dire a est un élément générateur de C_n)
Alors <h(a)> = C_m, si et seulement si h est surjectif.

Merci si on peut me répondre.

**Flyingsquirrel** · 02/05/2009, 19h44

Salut,

Je ne vois pas ce qui te pose problème.

Si $\text{[math]}$ est surjectif, pour tout $\text{[math]}$ on peut trouver un $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ . Mais $\text{[math]}$ est un générateur de $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ pour un certain entier $\text{[math]}$ et l'on obtient $\text{[math]}$ . L'élément $\text{[math]}$ est donc un générateur de $\text{[math]}$ .

La réciproque n'est pas plus difficile à prouver.

invitea41c27c1 · 02/05/2009, 19h45

a engendre C_n donc h(a) engendre h(C_n) (cela te suffit ?).

invite97a526b6 · 02/05/2009, 22h16

Envoyé par Garnet

a engendre C_n donc h(a) engendre h(C_n) (cela te suffit ?).

OUI, merci pour vos réponses, c'est quasiement évident !

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