Matrice positive peut être exprimée sous forme de HH*

[invitea125cf6e]

Bonjour,

Je cherche à montrer que une matrice A réelle et définie positive entraîne qu'on peut trouver une matrice H telle que
J'arrive uniquement à montrer l'inverse :



Comment au contraire prouver l'existence, sachant que A est définie positive?

Merci
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[acx01b]

salut je tente une réponse :

M c'est la matrice défini positive

on a comme données que pour tout x (différent de 0) de R^n : x^T M x >0, et M = A + B où A est diagonalisable et construite en diagonalisant M (en soutrayant les sous-espaces de chaque vecteur propre trouvé) jusqu'à tomber sur un reste B qui n'a aucun vecteur propre
--> A et B travaillent donc sur des sous-espaces complémentaires

le but est de montrer que B doit être nulle, puisqu'une fois M diagonalisable, M = M^T implique que la base des vecteurs propres est orthogonale et donc orthonormée, et x^T M x >0 implique que les valeurs propres sont positives

tu restreints x à E = R^n privé de ker(B)
donc pour un x de E, Bx n'est pas colinéaire à x et B est inversible sur ce sous espace (puisque sur E, Bx = 0 n'a pas de solution autre que 0)
l'image d'un plan par B est donc un plan
B restreinte à ce plan est isomorphe (via une matrice de passage orthonormée) à B' une matrice 2x2 inversible sans vecteur propre
tu montres que pour que x^T M x > 0 il faut que B' soit une matrice de rotation d'un angle inférieur à pi/2
au final en prenant les vecteurs d'une base de Im(B) deux par deux, tu montres que B est une matrice orthogonale (l'angle de rotation doit être toujours le même)
il suffit alors de dire qu'une matrice de rotation 3x3 a forcément un vecteur propre

[invitea125cf6e]

Oula.... Je m'attendais à quelque chose de très simple! Dans un cours de Brummelhuis sur les maths financières je lis :

"Let be a positive symmetric matrix satisfying and . Positivity of the matrix means that
,
for all . This implies by standart linear algebra that one can find an nXn matrix such that


Je ne crois pas que le problème soit simplifié par la forme particulière de .

En tout cas je n'ai pas le niveau en algèbre linéaire pour te suivre, mais merci de ton aide, je garde ça pour plus tard.

[invite34b13e1b]

Salut,
Une autre demonstration de ton résultat:
A etant définie positive, elle définit un produit scalaire.
Ecrire que A=H^TH , c'est dire que H est la matrice de passage d'une base B' orthonormée pour ce produit scalaire à la base B.
Le procédé de gram-Schmidt te fournit une telle base, et H est même triangulaire superieure.

[A voir en vidéo sur Futura]