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D'une matrice symétrique positive à une matrice symétrique positive semi-def negative



  1. #1
    julien_4230

    D'une matrice symétrique positive à une matrice symétrique positive semi-def negative


    ------

    Bonjour,

    Existe-il un procédé pour rendre une matrice (symétrique positive semi-définie positive)
    (symétrique positive semi-définie négative) ?

    De même, existe-t-il un procédé pour rendre une matrice (symétrique positive)
    (symétrique positive semi-définie négative) ?

    Il faut impérativement qu'elle reste positive.

    Merci bien !

    Sincèrement,

    -----

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  3. #2
    gg0

    Re : D'une matrice symétrique positive à une matrice symétrique positive semi-def negative

    Bonjour.

    Réponse brute : Non, si x est positif, il le reste. idem pour ta matrice. Si elle est symétrique positive semi-définie positive, elle l'est !
    Réponse moins stricte : Comme tu sous-entends que tu changes ta matrice, prend en une qui te va, n'importe laquelle.
    Réponse gentille : Tu vois que ta question est trop mal posée pour avoir une réponse sérieuse et qui te convienne. Donc réfléchis mieux à ce que tu veux faire (type de modification) et repose une question qui aura du sens.

    Cordialement.

  4. #3
    julien_4230

    Re : D'une matrice symétrique positive à une matrice symétrique positive semi-def négatives

    Bonsoir Monsieur,

    Je te remercie de ta réponse !
    Je vais t'obéir car je sens que tu pourrais peut-être m'aider !! lol
    Mais obéir n'est pas dans ma nature. Quelle chance tu as !

    Si j'ai une matrice M symétrique positive, puis-je construire une matrice (qui s'écrit en fonction de M) qui soit positive symétrique et semi-définie négative ?

    Je pencherais plus pour un "non" pour des raisons de signe de valeur propre, mais peut-être ai-je raté un truc que vous n'auriez pas raté ?

    Merci bien à vous !!

    Sincèrement,

  5. #4
    gg0

    Re : D'une matrice symétrique positive à une matrice symétrique positive semi-def négatives

    S'il te plaît, pas de Monsieur ! Je préfère gg0.

    Il reste à définir ce que tu appelles "en fonction de M", qui peut recouvrir n'importe quoi. Par exemple la fonction constante égale à N où N est une matrice positive symétrique et semi-définie négative. Si ça te gêne que M m'apparaisse pas, prends aM+N avec a tellement petit que ça ne changera rien.

    J'imagine que tu as une autre intuition, mais ce n'est qu'en la creusant vraiment (ne pas plaquer des mots, trouver ce que tu veux dire exactement) que tu réussiras à avoir une question.

    Cordialement.

  6. #5
    julien_4230

    Re : D'une matrice symétrique positive à une matrice symétrique positive semi-def negative

    J'aimerais une fonction qui ne fasse apparaître que des matrices connues (M est connue, je précise), comme l'identité, tMM, M^2, une matrice remplie que de 1, etc. des matrices connues.

    (Je précise aussi que M est carrée)
    Dernière modification par julien_4230 ; 06/12/2013 à 22h11.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    julien_4230

    Re : D'une matrice symétrique positive à une matrice symétrique positive semi-def negative

    Bonjour,

    Je pense que ce n'est pas possible. (si c'est semi-définie positif tMM suffit)

    Alors je contourne le problème autrement, en posant une autre question :

    Qu'est-ce qu'on peut dire du spectre de en fonction de celui de ? Je précise que la conjecture de Horn ne s'applique pas car n'est ni symétrique ni hermitienne. Certaines simulations que j'aie effectuées me montrent que, sauf la première valeur propre, le reste du spectre ne sont pas trop éloignés. Est-ce que le théorème de Rouché pourrait rigoureusement confirmer cela ?

    A bientôt,

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  10. #7
    Tryss

    Re : D'une matrice symétrique positive à une matrice symétrique positive semi-def negative

    Sur la dimension 2, on va voir que ça coince vite fait :

    Prend la matrice , elle a pour valeurs propres ia et -ia, tandis que M+Mt est la matrice nulle (donc de valeur propre nulle de multiplicité 2)

    Ainsi, une matrice ayant des valeurs propres arbitrairement grandes peut avoir les valeurs propres de sa partie symétrique nulle

  11. #8
    acx01b

    Re : D'une matrice symétrique positive à une matrice symétrique positive semi-def negative

    salut pour ta question de départ, j'ai l'impression qu'une matrice M semi défini négative et symétrique ne peut pas avoir tous ses coefficients positifs

    puisque

    on a

    Dernière modification par acx01b ; 08/12/2013 à 13h58.

  12. #9
    toothpick-charlie

    Re : D'une matrice symétrique positive à une matrice symétrique positive semi-def negative

    effectivement une matrice à trace négative ne peut avoir tous ses coefficients positifs.

    j'ai l'impression que si on cherche la matrice semi-définie négative "la plus provche" d'une matrice semi-défine positive donnée, au sens d'une norme raisonnable, on va tomber sur la matrice nulle.

  13. #10
    julien_4230

    Re : D'une matrice symétrique positive à une matrice symétrique positive semi-def negative

    Pourtant prenez n'importe quelle matrice à distance euclidienne régulière. Elle est semi-définie négative sur l'orthogonale de {e} où e est le vecteur avec tous les éléments égaux à 1.

    Par ailleurs comment expliquez-vous le "fait numérique" suivant :

    Simulez une matrice M, avec ses coefficients iid (prenez une loi de Poisson de paramètre 40 par exemple).$ : pour chacun des coefficients associez-lui un nombre réalisé d'une variable aléatoire réelle de Poisson (par exemple) de paramètre 40. Vous obtiendrez une réalisée de matrice aléatoire (GOE pour les connaisseurs).

    Tracez les valeurs propres de M en fonction de celles de t(M)+M/2. Eh bien constatez que, mis-à-part la première valeur propre, les autres valeurs propres sont très proches.

    Une explication ?

  14. #11
    acx01b

    Re : D'une matrice symétrique positive à une matrice symétrique positive semi-def negative

    à mon avis la raison c'est la suivante

    soit M = A + B avec A,B,M diagonalisables

    si les valeurs propres de B sont très petites par rapport aux valeurs propres de A alors M \approx A
    en particulier les vecteur propres et valeurs propres de M sont proches de ceux de A
    Dernière modification par acx01b ; 08/12/2013 à 21h22.

  15. #12
    julien_4230

    Re : D'une matrice symétrique positive à une matrice symétrique positive semi-def negative

    Le théorème de Rouché serait la version rigoureuse de cet argument.

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  17. #13
    toothpick-charlie

    Re : D'une matrice symétrique positive à une matrice symétrique positive semi-def negative

    Citation Envoyé par julien_4230 Voir le message
    Simulez une matrice M, avec ses coefficients iid (prenez une loi de Poisson de paramètre 40 par exemple).$ : pour chacun des coefficients associez-lui un nombre réalisé d'une variable aléatoire réelle de Poisson (par exemple) de paramètre 40. Vous obtiendrez une réalisée de matrice aléatoire (GOE pour les connaisseurs).
    j'avais compris qu'une GOE était une matrice aléatoire à coefficients gaussiens. C'est Poisson en fait?

  18. #14
    julien_4230

    Re : D'une matrice symétrique positive à une matrice symétrique positive semi-def negative

    J'ai fait un abus de langage. Ici les coefficients sont iid donc la loi du demi-cercle est vérifiée.

  19. #15
    toothpick-charlie

    Re : D'une matrice symétrique positive à une matrice symétrique positive semi-def negative

    Citation Envoyé par julien_4230 Voir le message
    Ici les coefficients sont iid donc la loi du demi-cercle est vérifiée.
    et...? c'est difficile de suivre tes raisonnements. Là je ne vois pas le rapport avec la question initiale.

  20. #16
    julien_4230

    Re : D'une matrice symétrique positive à une matrice symétrique positive semi-def negative

    Je reprends :

    Citation Envoyé par julien_4230 Voir le message
    Simulez une matrice M, avec ses coefficients iid (prenez une loi de Poisson de paramètre 40 par exemple).$ : pour chacun des coefficients associez-lui un nombre réalisé d'une variable aléatoire réelle de Poisson (par exemple) de paramètre 40. Vous obtiendrez une réalisée de matrice aléatoire (GOE pour les connaisseurs).

    Tracez les valeurs propres de M en fonction de celles de t(M)+M/2. Eh bien constatez que, mis-à-part la première valeur propre, les autres valeurs propres sont très proches.
    "GOE" était un abus de langage. Restons seulement au fait que les coef sont iid. Plot l'histogramme des valeurs tu verras que c'est gaussien c'est pour ça que j'ai parlé de "GOE"...

    Sinon le problème initial est de comprendre en quoi les spectres, sans la première valeur propre, étaient si ressemblant.

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