Salut tous,
j'ai une question surement très bidon mais je n'arrive pas à montrer ceci:
=> si on A qui est inversible alorsest définie positive.
je comprends que
en espérant que vous pourrez m'aider...
merci d'avance
Salut!
si A est inversible,
Pardon.
Ca ne répond pas à la question
En fait, elle est définie par ce qu'elle est inversible.
Positive parce que, pour tout vecteur X, <tA.AX,X>=<AX,t(tA)X>=<AX,AX>> =0.
merci weensie, donc si je comprends bien, une matrice symétrique est forcement definie positive si elle est inversible
je corrige, une matrice symétrique qui est le produit d'une matrice M par sa transposée est forcement définie positive si l'inverse de
=> J'ai une autre question mais qui doit etre proche je pense, sur un document j'ai vu qu'il y avait marqué:
" on montre que la minimisation d'une forme quadratique revient à résoudre un systeme lineaire ou la matrice A est definie positive"
la demonstration doit pouvoir nous amener donc à une sorte de truc :
Salut 21did21
En gros c'est une sorte d'équivalent pour les matrices des carrés et racines carrés qu'on fait pour les scalaires.
Imagine que y = x*x (x est un nombre réel). Alors le nombre y est forcément positif ou nul. Maintenant si tu dis qu'on peut calculer l'inverse de y ça signifie que y ne peut pas être nul. Moralité y est forcement strictement positif.
Pour les matrices si tu as A=M^T*M la matrice A est symétrique et a priori semi définie positive. Si A est en + inversible alors elle sera définie positive (il n'y a plus le semi).
Maintenant, quand tu as un nombre strictement positif tu peux en prendre la racine carrée. Pour les matrices il y a un équivalent possible qui s'appelle le facteur de Cholesky. Si A est symétrique définie positive alors il existe une unique matrice triangulaire inférieure L telle que A=LL^T ou encore il existe une unique matrice triangulaire supérieure U telle que A = U^TU.
A+
MisterDa
merci beaucoup Da pour ton explication très intéressante.
juste un point de vocabulaire: une forme quadratique c'est ça :
humm très vite et très mal dit, f est une forme quadratique si f(kx) = k^2f(x) (où k est un réel).
En calcul matriciel, une forme quadratique est de la forme f(x) = x^tMx où M est une matrice carrée of course.
si M est une matrice définie positive alors f(x)>0 pour tout x
si M est une matrice semi définie positive alors f(x)>=0 pour tout x
etc...
merci de ton aide
Tout le plaisir est pour moi.
j'ai tous relu et en fait je ne suis pas certain d'avoir compris ceci .... (c'est dommage, c'est la base qui permet de dire que c'est définie positifEnvoyé par Weensie
)
pourrais tu réexpliqué un peu plus doucement pourquoi on fait cela, pourquoi ça se simplifie comme cela....
En fait, pour chaque endomorphisme u d'un espace euclidien il existe un endomorphisme adjoint u* cad tq <u(x),y>=<x,u*(y)>.
En l'occurrence, la transposée de u est matriciellement égale à u*.
Donc quand tu as <tMMX,X>, tu peux le voir comme le produit scalaire de la matrice tM appliquée au vecteur MX (qui joue le rôle de x) avec le vecteur y.
Donc <tMMX,X>=<MX,(tM)*X> et (tM)*=ttM=M
