définie positive et symétrique ?

[membreComplexe12]

Salut tous,

j'ai une question surement très bidon mais je n'arrive pas à montrer ceci:

=> si on A qui est inversible alors est définie positive.

je comprends que est symétrique et que l'on a donc des valeurs propres réelles mais par contre je ne comprends pas pourquoi le fait que A soit inversible fait que est définie positive

en espérant que vous pourrez m'aider...

merci d'avance
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[Weensie]

Salut!
si A est inversible, .

[Weensie]

Pardon.
Ca ne répond pas à la question

[Weensie]

En fait, elle est définie par ce qu'elle est inversible.

Positive parce que, pour tout vecteur X, <tA.AX,X>=<AX,t(tA)X>=<AX,AX>> =0.

[A voir en vidéo sur Futura]

[membreComplexe12]

merci weensie, donc si je comprends bien, une matrice symétrique est forcement definie positive si elle est inversible

[membreComplexe12]

je corrige, une matrice symétrique qui est le produit d'une matrice M par sa transposée est forcement définie positive si l'inverse de existe.

=> J'ai une autre question mais qui doit etre proche je pense, sur un document j'ai vu qu'il y avait marqué:
" on montre que la minimisation d'une forme quadratique revient à résoudre un systeme lineaire ou la matrice A est definie positive"
la demonstration doit pouvoir nous amener donc à une sorte de truc : pour que l'on puisse affirmer ceci ?

[MisterDa]

Salut 21did21

En gros c'est une sorte d'équivalent pour les matrices des carrés et racines carrés qu'on fait pour les scalaires.

Imagine que y = x*x (x est un nombre réel). Alors le nombre y est forcément positif ou nul. Maintenant si tu dis qu'on peut calculer l'inverse de y ça signifie que y ne peut pas être nul. Moralité y est forcement strictement positif.

Pour les matrices si tu as A=M^T*M la matrice A est symétrique et a priori semi définie positive. Si A est en + inversible alors elle sera définie positive (il n'y a plus le semi).

Maintenant, quand tu as un nombre strictement positif tu peux en prendre la racine carrée. Pour les matrices il y a un équivalent possible qui s'appelle le facteur de Cholesky. Si A est symétrique définie positive alors il existe une unique matrice triangulaire inférieure L telle que A=LL^T ou encore il existe une unique matrice triangulaire supérieure U telle que A = U^TU.

A+
MisterDa

[membreComplexe12]

merci beaucoup Da pour ton explication très intéressante.

juste un point de vocabulaire: une forme quadratique c'est ça : ou c'est ça : ?

[MisterDa]

humm très vite et très mal dit, f est une forme quadratique si f(kx) = k^2f(x) (où k est un réel).
En calcul matriciel, une forme quadratique est de la forme f(x) = x^tMx où M est une matrice carrée of course.

si M est une matrice définie positive alors f(x)>0 pour tout x
si M est une matrice semi définie positive alors f(x)>=0 pour tout x
etc...

[membreComplexe12]

merci de ton aide

[MisterDa]

Tout le plaisir est pour moi.

[membreComplexe12]

En fait, elle est définie par ce qu'elle est inversible.
Positive parce que, pour tout vecteur X, <tA.AX,X>=<AX,t(tA)X>=<AX,AX>> =0.

j'ai tous relu et en fait je ne suis pas certain d'avoir compris ceci .... (c'est dommage, c'est la base qui permet de dire que c'est définie positif )

pourrais tu réexpliqué un peu plus doucement pourquoi on fait cela, pourquoi ça se simplifie comme cela....

[Weensie]

En fait, pour chaque endomorphisme u d'un espace euclidien il existe un endomorphisme adjoint u* cad tq <u(x),y>=<x,u*(y)>.
En l'occurrence, la transposée de u est matriciellement égale à u*.
Donc quand tu as <tMMX,X>, tu peux le voir comme le produit scalaire de la matrice tM appliquée au vecteur MX (qui joue le rôle de x) avec le vecteur y.
Donc <tMMX,X>=<MX,(tM)*X> et (tM)*=ttM=M