géométrie analytique

[invite191682dc]

Bonjour,

Il y a un genre d'exercices que je ne parviens pas à résoudre en géométrie analytique, du genre : voici 2 droites d'équations
1° - x = -1 2° x = 1
- y = z y = -z
Trouver l'équation (cartésienne) de la droite C qui coupe les 2 premières et qui est parallèle à la droite D de vecteur directeur (1,m,0), où m est un paramètre

Pourriez-vous m'expliquer comment procéder ? (j'avais commencer par supposer que la droite coupe la première droite en (a,b,c) et la seconde en (a',b',c'), puis former l'équation de la droite C :
x = A + 1l
y = B + ml
z = C + 0
(où l est un paramètre et A,B,C est un point de la droite C) donc je mets a,b,c puis a',b',c' à la place de respectivement x,y,z, et j'obtiens un paquet d'équations. Tout ça pour trouver les coordonnées d'un seul point de C que je pourrai mettre à la place de A,B,C) Est-ce un moyen correct de résolution ? Il y a-t-il une meilleure manière ? (sûrement...)

Merci d'avance
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[danyvio]

1° - x = -1 2° x = 1
- y = z y = -z

Je ne comprends pas très bien les équations de droite, comment faut-il les lire ?

[invite191682dc]

Pardon, je les ai mal alignées, ceci devrait être plus compréhensible :
1° x = -1 ; y = z
2° x = 1 ; y = -z

[inviteaf1870ed]

Je te propose une solution qui ne me semble pas la plus élégante :
Tu prends un point sur la première droite, que l'on appelle M1, de coordonnées (-1,y,y); un point M2 sur la deuxième droite (1,y',-y')
Par définition le vecteur M1M2 et (1,m,0) sont colinéaires. Cela te donne 3 équations très simples d'où tu déduis y et y' en fonction de m.
Ensuite la droite cherchée a pour équation paramétrique M2+a (1,m,0) d'où tu déduis les équations cartésiennes de ta droite.
Je trouve (SGDG) : z=-m et y=mx

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite191682dc]

Qu'est-ce que vous entendez par "3 équations très simples" ?

[inviteaf1870ed]

Ecris la condition de colinéarité de M1M2 et (1,m,0), que trouves tu ?

[invite191682dc]

Alors nous pouvons écrire l'équation cartésienne de M1M2 :
(-1-a)/1 = (y-b)/m
z = c

et :
(1-a)/1 = (y'-b)/m
z' = c

Donc de là on tire
z=z'=c
y=b - m(1+a)
y'=b + m(1-a)

mais comment est-ce que vous tirez de là l'équation paramétrique M2+a (1,m,0) ?

[inviteaf1870ed]

Je ne comprends pas : dans la méthode que je t'ai donnée il n'y a pas de a,b ou c. On ne passe pas par les équations cartésiennes.

Le point M1 a pour coordonnées (-1,y,y), le point M2 (1,y',-y'). Quelles sont les coordonnées du vecteur M1M2 ?
Écris ensuite que ce vecteur est colinéaire à (1,m,0). Qu'est ce que cela te donne ?

[invite191682dc]

D'accord, les coordonnées du vecteur M1M2 sont (-2,y-y',y+y') et étant colinéaire, on peut dire : (-2,y-y',y+y') = k(1,m,0)

Et de là on voit k = -2, y = -y' et 2y = -2m, c'est-à-dire y = -m

Maintenant nous avons les 2 points : M1(-1,-m,-m) et M2(1,m,-m)

et nous pouvons écrire avec M1 = (a,b,c) :
(x - a)/1 = (y-b)/m
z = c

D'où (effectivement) : z = -m et y = mx ! Merci beaucoup !

[inviteaf1870ed]

Oui, à ceci près que tu as donné les coordonnées de M2M1 et pas de M1M2, mais ça ne change rien pour le reste.