Exercice sur les séries et les intégrales (prouver que la différences des deux est positive)

[invite311a0156]

Bonjour, je bloque sur la question suivante :

Soit une fonction continue, positive et décroissante pour
Soient et

Comment montrer que est positive ?

J'ai déjà réussi à montrer qu'elle est décroissante, mais je bloque sur positive.

Merci beaucoup pour votre aide.
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[cleanmen]

Salut,
essaie de faire un dessin pour y voir plus clair.

[invite311a0156]

J'ai déjà essayé de faire un dessin. Je vois bien que ça semble "logique", malheureusement, le prof risque de ne guère apprécier cette justification.

[breukin]

Le dessin sert à comprendre ce qui se passe, puis permet ensuite de le formaliser.
Ce qu'on voit sur le dessin, c'est que l'aire de l'intégrale entre k et k+1 est plus petite que le rectangle de hauteur f(k) (et aussi plus grande que le rectangle de hauteur f(k+1), d'ailleurs).
C'est cela qu'il faut formaliser, et bien sûr, c'est lié à la décroissance. Si elle n'était pas décroissante, le dessin ne marcherait pas.

PS : je doute que la suite u_n soit décroissante.

[A voir en vidéo sur Futura]

[breukin]

D'ailleurs, rigoureusement le dessin permet de comparer :
et
Il suffit de voir ce qui se passe pour n=2.
Et c'est qu'on peut prouver positive, a fortiori .

[invite311a0156]

Si si la suite u_n est bien décroissante, d'ailleurs la question est "prouver qu'elle est décroissante".

C'est justement la formalisation que j'ai du mal à voir... Effectivement il est évident, dessin à l'appui, que Tn > In puisque f(n-1) > f(n). Mais je n'arrive pas à mettre des formules là-dessus

[breukin]

Effectivement, j'ai d'emblée raisonné sur T_n et v_n, parce que c'était naturel de comparer la courbe entre 1 et n, et les (n-1) rectangles entre 1 et n.
Et donc j'ai pris u_n comme si c'était v_n, et S_n comme si c'était T_n. Et v_n, elle, est bien croissante. Ce n'est d'ailleurs qu'après coup que j'ai vu que la somme allait jusqu'à n.

Effectivement il est évident, dessin à l'appui, que T_n > I_n puisque f(n-1) > f(n).

La condition f(n-1) > f(n) n'est pas suffisante. Cette dernière relation n'exprime pas la décroissance de f dans l'intervale [n-1,n].
Formalisez en formule f(x) est décroissante dans [k;k+1] (valable pour chaque k allant de 1 à n-1). Puis intégrez cette formalisation entre [k;k+1]. Puis sommez de k=1 à n-1.

[ericcc]

Il peut être judicieux d'utiliser la formule de la moyenne entre k et k+1...

[breukin]

Je rajouterai que pour avoir réussi à montrer que u_n est décroissante (ou v_n est croissante) vous avez quasi nécessairement utilisé la propriété qui sert à démontrer que u_n (ou v_n) est positive.

En effet:


Montrer que u_n est décroissante (ou v_n est croissante), c'est montrer que ces deux expressions sont >0.
Si vous avez réussi à le justifier (sur un rectangle particulier, celui entre n et n+1), alors je ne comprends pas pourquoi vous n'arrivez pas à justifier la positivité de v_n et a fortiori de u_n en appliquant le même raisonnement sur tous les rectangles.

[ansset]

pourquoi pas une petite recurrence à l'anciènne ?

[ericcc]

M'enfin....Formule de la moyenne : Soit J_k l'intégrale de k à k+1 de f. On a J_k=f(c_k) avec c_k compris entre k et k+1.
Donc par décroissance de f : 0 < f(k+1)<f(c_k)= J_k <f(k) - les inégalités sont à prendre au sens large
Il suffit de sommer ces inégalités pour trouver que I_n<S_n-1<S_n

[ansset]

M'enfin....Formule de la moyenne

ben oui, c'est direct mais c'est pas la peine de t'énerver.
( et pis sommer l'ensemble des écarts revient à "recurrer" en une seule fois mais certes beaucoup plus élégant( bon j'ai rien dis ))

cordialement.

[breukin]

Mais pourquoi une formule de la moyenne ? Ca aussi c'est inutile.
f est décroissante. Donc entre k et k+1.
En intégrant, on a directement

sans invoquer un quelconque théorème de la moyenne.
En écrivant cela, on ne fait que matérialiser ce qu'on voit sur le dessin.
En sommant à gauche de 1 à n-1, on a et a fortiori : donc est positive.

Remarque : en sommant à droite de 1 à n-1, on a

[ericcc]

J'aime bien la formule de la moyenne, souvent méconnue. Et elle a une sœur jumelle, en plus