Bonjour, je bloque sur la question suivante :
Soitune fonction continue, positive et décroissante pour
Soient
Comment montrer que
J'ai déjà réussi à montrer qu'elle est décroissante, mais je bloque sur positive.
Merci beaucoup pour votre aide.
Salut,
essaie de faire un dessin pour y voir plus clair.
J'ai déjà essayé de faire un dessin. Je vois bien que ça semble "logique", malheureusement, le prof risque de ne guère apprécier cette justification.
Le dessin sert à comprendre ce qui se passe, puis permet ensuite de le formaliser.
Ce qu'on voit sur le dessin, c'est que l'aire de l'intégrale entre k et k+1 est plus petite que le rectangle de hauteur f(k) (et aussi plus grande que le rectangle de hauteur f(k+1), d'ailleurs).
C'est cela qu'il faut formaliser, et bien sûr, c'est lié à la décroissance. Si elle n'était pas décroissante, le dessin ne marcherait pas.
PS : je doute que la suite un soit décroissante.
Dernière modification par breukin ; 02/02/2012 à 18h41.
D'ailleurs, rigoureusement le dessin permet de comparer :
Il suffit de voir ce qui se passe pour n=2.
Et c'est
Si si la suite un est bien décroissante, d'ailleurs la question est "prouver qu'elle est décroissante".
C'est justement la formalisation que j'ai du mal à voir... Effectivement il est évident, dessin à l'appui, que Tn > In puisque f(n-1) > f(n). Mais je n'arrive pas à mettre des formules là-dessus
Effectivement, j'ai d'emblée raisonné sur Tn et vn, parce que c'était naturel de comparer la courbe entre 1 et n, et les (n-1) rectangles entre 1 et n.
Et donc j'ai pris un comme si c'était vn, et Sn comme si c'était Tn. Et vn, elle, est bien croissante. Ce n'est d'ailleurs qu'après coup que j'ai vu que la somme allait jusqu'à n.
La condition f(n-1) > f(n) n'est pas suffisante. Cette dernière relation n'exprime pas la décroissance de f dans l'intervale [n-1,n].Effectivement il est évident, dessin à l'appui, que Tn > In puisque f(n-1) > f(n).
Formalisez en formule f(x) est décroissante dans [k;k+1] (valable pour chaque k allant de 1 à n-1). Puis intégrez cette formalisation entre [k;k+1]. Puis sommez de k=1 à n-1.
Dernière modification par breukin ; 02/02/2012 à 23h42.
Il peut être judicieux d'utiliser la formule de la moyenne entre k et k+1...
Je rajouterai que pour avoir réussi à montrer que un est décroissante (ou vn est croissante) vous avez quasi nécessairement utilisé la propriété qui sert à démontrer que un (ou vn) est positive.
En effet:
Montrer que un est décroissante (ou vn est croissante), c'est montrer que ces deux expressions sont >0.
Si vous avez réussi à le justifier (sur un rectangle particulier, celui entre n et n+1), alors je ne comprends pas pourquoi vous n'arrivez pas à justifier la positivité de vn et a fortiori de un en appliquant le même raisonnement sur tous les rectangles.
pourquoi pas une petite recurrence à l'anciènne ?
M'enfin....Formule de la moyenne : Soit Jk l'intégrale de k à k+1 de f. On a Jk=f(ck) avec ck compris entre k et k+1.
Donc par décroissance de f : 0 < f(k+1)<f(ck)= Jk <f(k) - les inégalités sont à prendre au sens large
Il suffit de sommer ces inégalités pour trouver que In<Sn-1<Sn
ben oui, c'est direct mais c'est pas la peine de t'énerver.Envoyé par ericcc
( et pis sommer l'ensemble des écarts revient à "recurrer" en une seule fois mais certes beaucoup plus élégant( bon j'ai rien dis ))
cordialement.
Mais pourquoi une formule de la moyenne ? Ca aussi c'est inutile.
f est décroissante. Donc
En intégrant, on a directement
sans invoquer un quelconque théorème de la moyenne.
En écrivant cela, on ne fait que matérialiser ce qu'on voit sur le dessin.
En sommant à gauche de 1 à n-1, on a
Remarque : en sommant à droite de 1 à n-1, on a
J'aime bien la formule de la moyenne, souvent méconnue. Et elle a une sœur jumelle, en plus
