Feuilletage, condition d'intégrabilité

[invite292e91f0]

Bonjour,
Je commence à m'intéresser aux feuilletages, et il y a une question dont je n'arrive pas à trouver la réponse.
Si on considère un feuilletage défini par une forme différentielle , la condition d'intégrabilité nous dit que .
Et là, Godbillon en déduit qu'il existe une 1-forme telle que .
Mais je n'arrive pas à comprendre pourquoi... peut-être que je ne suis pas encore allé assez loin dans la découverte des feuilletages ?
En tout cas, si quelqu'un a un élément de réponse à me donner, je suis preneur !
Merci d'avance
Katatsumuri
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[Weensie]

Salut,

J'ai pas trop regardé, mais que se passe t-il quand tu intègres pour de bon ta forme diff ?

Peut-être que des théorèmes comme Stokes peuvent aider ?

A+

W

[invite76543456789]

Salut!
Tu peux repondre a la question localement me semble.
Tu supposes que dansun premier temps le fibré des 1-formes est trivial.
Alors montre que si w est un k-forme, alors les (k+1)-formes qui annulent l'operateur sont exactement les formes de la forme avec alpha une 1-forme.
Montre qu'il y a isomorphisme entre les telles 1-formes alphe et les (k+1) formes annulant l'operateur.

Alors tu es assuré de l'existence globale de ta forme alpha, par unicité et existence de telles formes partout localement.

(Je n'ai pas fait la démo complete, aussi y a peut etre une erreur dans ce que je te dis, mais je ne pense pas!).

[invite76543456789]

En fait dans tout ce que j'ai ecrit, faut faire k=0, puisqu'on ne regarde que des 1 formes!
Et en fait ca me parait faux pour k different de 0, a verifier.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite76543456789]

Bon j'ai fait le calcul dans le cas general, en fait la forme alpha n'est pas unique mais existe toujours, ca ca marche comme je t'ai dit, tu fais le calcul localement (pour un fibré cotengeant trivial) et on en deduit le cas general en utilisant une partition de l'unité subordonée a un recouvrement trivialisant.

[invite292e91f0]

Merci à vous deux pour vos indications, je vais donc faire ce calcul.