geométrie analytique

[invite890ebfab]

voilà j'ai un dm de maths et je n'y comprend rien donc si quelqu'un pouvait me donner des pistes ça serait sympa ! (je flanche sur le problème depuis un bon moment)

(O,i,j) est un repère orthonormé du plan. On donne les points suivants :

A(-2;3) B(0;1) C(2;5)


1°) Démontrer que le point Ω est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC si et seulement si ΩA²=ΩB²=ΩC²
2°) Ecrire un système de deux équations à deux inconnues dont les coordonnées de Ω sont solutions.
3°) Déterminer les coordonnées de Ω.
4°) Quel est le rayon du cercle circonscrit ?

Merci beaucoup.
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[shokin]

1°) Démontrer que le point Ω est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC si et seulement si ΩA²=ΩB²=ΩC²
2°) Ecrire un système de deux équations à deux inconnues dont les coordonnées de Ω sont solutions.
3°) Déterminer les coordonnées de Ω.
4°) Quel est le rayon du cercle circonscrit ?

Pour mesurer la distance entre deux points, tu utilises le théorème de Pythagore, les différences entres les coordonnées étant les cathètes, la distance entre les deux points étant l'hypoténuse.

Le point Ω aura pour coordonnées (Ω1;Ω2).



Shokin

[invite890ebfab]

voilà j'ai un problème de maths et je n'y comprend rien donc si quelqu'un pouvait me donner des pistes ça serait sympa ! (je flanche sur le problème depuis un bon moment)

(O,i,j) est un repère orthonormé du plan. On donne les points suivants :

A(-2;3) B(0;1) C(2;5)


1°) Démontrer que le point Ω est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC si et seulement si ΩA²=ΩB²=ΩC²
2°) Ecrire un système de deux équations à deux inconnues dont les coordonnées de Ω sont solutions.
3°) Déterminer les coordonnées de Ω.
4°) Quel est le rayon du cercle circonscrit ?

Merci beaucoup.

[invite890ebfab]

Euh je n'ai pas très bien compris parce que pour pythagore il faut que je prouve que le triangle est rectangle or ce n'est pas dit dans l'énoncé.

[A voir en vidéo sur Futura]

[shokin]

Euh je n'ai pas très bien compris parce que pour pythagore il faut que je prouve que le triangle est rectangle or ce n'est pas dit dans l'énoncé.

Sais-tu comment calculer la distance entre deux points à partir de leurs coordonnées ?



Shokin

[invite890ebfab]

Sais-tu comment calculer la distance entre deux points à partir de leurs coordonnées ?



Shokin

Bien sur on fait : AB=√(xb-xa)²+(yb-ya)²

[invite890ebfab]

Pour BC on trouve 20
AC on trouve 20
AB on trouve 8

[invite890ebfab]

une fois que j'ai toutes ces longueurs je fait comment ?? ah et pour les longueurs j'ai oublié les racines carré.

[shokin]

Alors, en fait, tu n'auras pas besoin de mesurer AB, AC et BC. Tu vas exprimer :

AΩ (en laissant Ω1 et Ω2 car tu ne connais pas encore leurs valeurs)
BΩ
CΩ

AΩ, BΩ et CΩ doivent être égales.

Tu vas donc poser un système de deux équations (peu importe lesquelles puisque, par transitivité, si deux sont vraies alors la troisième est vraie) parmi les trois suivantes :

AΩ = BΩ
AΩ = CΩ
BΩ = CΩ

Et le résoudre. Et tu trouveras Ω1 et Ω2 (les deux inconnues).



Shokin

[invite890ebfab]

merci beaucoup vraiment !! mais avec la question 1) je ne vois pas comment on peut introduire des carrés ou pythagore. Est-ce que tu aurais une idée pour cette question ?? merci d'avance.

[shokin]

En fait, quand tu calcules la distance entre deux points, tu ne fais rien d'autre qu'utiliser le théorème de Pythagore (sans forcément te rendre compte que tu t'en aides).

Soient deux points :

A(1;2)
B(4;6)

Construits un point - appelons-le C - dont la première coordonnée égale celle de A et dont la deuxième coordonnée égale celle de B.

C(1;6)

Relis les trois points et tu obtiendras un triangle rectangle. Tu vois donc... ?



Shokin

[invite890ebfab]

OK merci j'ai compris pour pythagore mais comment démontrer que Ω est le centre du cercle circonscrit au triangle abc si ΩA²=ΩB²=ΩC² ?

pour le système d'équation à la question 2 est-ce qu'on obtient ça ??

AΩ=BΩ
BΩ=CΩ

[invite890ebfab]

pour le système d'équation à la question 2 est-ce qu'on obtient ça ??

AΩ1=BΩ2
BΩ2=CΩ3

[invite890ebfab]

pour la question 1 quelqu'un aurait une idée svp ?? merci

[shokin]

mais comment démontrer que Ω est le centre du cercle circonscrit au triangle abc si ΩA²=ΩB²=ΩC² ?

Le centre du cercle circonscrit à un triangle (ABC) est à égale distance des trois sommets de ce triangle. Il est le point d'intersection des médiatrices de ce triangle.

ΩA²=ΩB²=ΩC²

aurait aussi pu être écrit

(ΩA)²=(ΩB)²=(ΩC)²

donc équivaut, au signe près, à

(ΩA)=(ΩB)=(ΩC)



Pour le système de deux équations, prenons par exemple les deux équations suivantes :

AΩ = BΩ
AΩ = CΩ

Rappelons :

A(-2;3), B(0;1), C(2;5), Ω(Ω1;Ω2)

donc

(Ω1-A1)² + (Ω2-A2)² = (Ω1-B1)² + (Ω2-B2)²
(Ω1-A1)² + (Ω2-A2)² = (Ω1-C1)² + (Ω2-C2)²

Connaissant A1, A2, B1, B2, C1 et C2, tu résous alors ce système de deux équations à deux inconnues, les deux inconnues étant Ω1 et Ω2.



Shokin

[inviteb30dad70]

Le centre du cercle circonscrit à un triangle (ABC) est à égale distance des trois sommets de ce triangle. Il est le point d'intersection des médiatrices de ce triangle.

ΩA²=ΩB²=ΩC²

aurait aussi pu être écrit

(ΩA)²=(ΩB)²=(ΩC)²

donc équivaut, au signe près, à

(ΩA)=(ΩB)=(ΩC)



Pour le système de deux équations, prenons par exemple les deux équations suivantes :

AΩ = BΩ
AΩ = CΩ

Rappelons :

A(-2;3), B(0;1), C(2;5), Ω(Ω1;Ω2)

donc

(Ω1-A1)² + (Ω2-A2)² = (Ω1-B1)² + (Ω2-B2)²
(Ω1-A1)² + (Ω2-A2)² = (Ω1-C1)² + (Ω2-C2)²

Connaissant A1, A2, B1, B2, C1 et C2, tu résous alors ce système de deux équations à deux inconnues, les deux inconnues étant Ω1 et Ω2.



Shokin

Pourrais tu m'expliquer ta démarches et ton raisonnement pour démontrer la question 1°) ??

[inviteb30dad70]

je pensais utiliser le rayon pour la démonstration en disant qu'il est le même pour ΩA ΩB et ΩC. est-ce que on peut faire comme ça ou pas ??

[shokin]

je pensais utiliser le rayon pour la démonstration en disant qu'il est le même pour ΩA ΩB et ΩC. est-ce que on peut faire comme ça ou pas ??

Exactement.



Shokin