système en problème

[invite890ebfab]

Bonjour à tous !!

Sur ce problème je ne comprends pas les questions 3, 4, 6 et 7 !

quelqu'un pourrait-il me mettre sur la voie ? merci d'avance.


ABC est un triangle tel que AB= 15 et AC =17. Soit D un point du segment [BC] : on trace par D les parallèles aux côtés (AC) et (AB). On obtient le parallélogramme ADEF.
On pose AF = x et AE = y .


1. A l’aide du théorème de Thalès, montrer que : 17x + 15y = 225.
2. On désigne par p le périmètre du parallélogramme AEDF. Calculer les longueurs des côtés si p = 33.
3. Montrer que si p = 32, Dest le milieu de [BC].
4. Montrer que l’on a : 30< p<34.
5. Dans un même repère, tracer les droites d’équations respectives : 17x + 15y = 225 et 2x + 2y = p.
(On donnera une valeur à p.)
Justifier graphiquement le résultat obtenu à la question 4.
6. Résoudre graphiquement ce problème pour p = 31.
7. Le parallélogramme peut-il être un losange ?
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[shokin]

Salut,

3. Montrer que si p = 32, D est le milieu de [BC].

Tu sais que 2x+2y = p.

Tu as démontré que :

17x + 15y = 225.

Il te suffit alors, grâce à cette égalité, d'exprimer y en fonction de x (ou x en fonction de y), puis de procéder à la substitution dans l'égalité 2x+2y = p.

Tu auras alors une équation à une inconnue, que tu résoudras.

Truc : Combien doit mesurer x (ou y) pour que D soit le milieu du segment [BC] ?

4. Montrer que l’on a : 30< p<34.

On doit montrer que p est, dans ce problème, obligatoirement dans l'intervalle ouvert ]30;34[.

Comment évoluent x et y quand D se rapproche de B ? et quand D se rapproche de C ? (cf. les limites)

6. Résoudre graphiquement ce problème pour p = 31.

Dessine un graphique dont les axes désignent respectivement x (AE) et y (AF). Trace les deux droites. Que constates-tu ? (avec p=31)

Les droites vont se restreindre en segments car x et y (qui sont des longueurs) doivent être positifs.

7. Le parallélogramme peut-il être un losange ?

17x + 15y = 225

Remplace y par x, puis résous l'équation.



Shokin

[invite890ebfab]

pour la 3) je trouve x=15/16 et y=-15/16 au système d'équation mais je ne vois pas le rapport avec si p=32 alors D milieu de [BC]. tu pourrais m'aider ?

[invite890ebfab]

pour la 4) j'observe sur mon dessin que quand d se rapproche de c x diminue et y augmente et que quand d se rapproche de b x augmente et y diminue mais comment montrer que 30<p<34 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[shokin]

En fait, je viens de contrôler, il y a une erreur :

Algébriquement, je n'obtiens pas

17x + 15y = 225

mais

17x + 15y = 255

ce qui est, somme toute, fort logique, puisque 17*15=255.



Recommence à résoudre le système, mais avec les deux équations suivantes :

2x + 2y = 32
17x + 15y = 255



Shokin

[shokin]

Pour le 4, pose-toi les questions suivantes :

- Quand D, sur le segment [BC], se rapproche de B (ou s'éloigne de C), est-ce que p diminue, stagne ou augmente ?
- Quand D, sur le segment [BC], se rapproche de C (ou s'éloigne de B), est-ce que p diminue, stagne ou augmente ?

Tu peux également aborder la question avec l'algèbre :

Étant donné l'équation 17x + 15y = 255 et comme x et y doivent être strictement positifs (si x ou y égale 0, tu n'as plus de parallélogramme, mais un segment) :

- Quand x se rapproche de 0, vers combien se rapproche y ? vers combien alors se rapproche 2x + 2y ?
- Quand y se rapproche de 0, vers combien se rapproche x ? vers combien alors se rapproche 2x + 2y ?



Shokin

[invite890ebfab]

pour la 3) je trouve x=1/16 et y=255/16 et ensuite je procède comment ?

[invite890ebfab]

Pour le 4, pose-toi les questions suivantes :

- Quand D, sur le segment [BC], se rapproche de B (ou s'éloigne de C), est-ce que p diminue, stagne ou augmente ?
- Quand D, sur le segment [BC], se rapproche de C (ou s'éloigne de B), est-ce que p diminue, stagne ou augmente ?

Tu peux également aborder la question avec l'algèbre :

Étant donné l'équation 17x + 15y = 255 et comme x et y doivent être strictement positifs (si x ou y égale 0, tu n'as plus de parallélogramme, mais un segment) :

- Quand x se rapproche de 0, vers combien se rapproche y ? vers combien alors se rapproche 2x + 2y ?
- Quand y se rapproche de 0, vers combien se rapproche x ? vers combien alors se rapproche 2x + 2y ?



Shokin

pour la 4) quand x se rapproche de 0, y augment et quand c'est y qui se rapproche de 0 c'est x qui augment mais ensuite il faut faire comment pour montrer que 30<p<34 ?

[shokin]

pour la 3) je trouve x=1/16 et y=255/16 et ensuite je procède comment ?

Comment as-tu trouvé cela ??? ce n'est pas la solution du 3.

Es-tu parti du système des deux équations suivantes ?

17x + 15y = 255
2x + 2y = 32

Une fois que tu trouves x et y, compare-les respectivement aux longueurs AB et AC. Tu devrais remarquer quelque chose, en te rappelant que AFDE est un parallélogramme (avec toutes ses propriétés). Tu pourras également observer les triangles FBD et ECD, prendre leurs mesures.

pour la 4) quand x se rapproche de 0, y augment et quand c'est y qui se rapproche de 0 c'est x qui augment mais ensuite il faut faire comment pour montrer que 30<p<34 ?

Jusqu'où peut augmenter x ? jusqu'où peut augmenter y ?



Shokin

[invite890ebfab]

x peut augmenter jusqu'à 15 et y jusqu'à 17 et ensuite ?

[shokin]

Quand x = 15, à combien égale y ? à combien égale le périmètre ?

Quand y = 17, à combien égale x ? à combien égale le périmètre ?



Je ne sais pas en vous en êtes avec le chapitre des fonctions, mais observe :

17x + 15y = 255
<=>
y = f(x) = (255-17x)/15
f(x) = 255/15 - 17x/15
f(x) = 17 - 17x/15
f(x) = (-17/15) * x + 17

C'est donc une fonction affine (de type f(x) = ax + b), où a = -17/15 et b = 17. Comme a est négatif, c'est une fonction décroissante ("droite descendante" sur le graphique). Quand x augmente/diminue, y diminue/augmente, et réciproquement. Si tu dessines cette droite, ne considère que le segment compris dans le cadran en haut à droite.



Tu peux même utiliser une fonction g(x) où g(x) = 2x + 2y = le périmètre du parallélogramme :

Comme 17x + 15y = 255, alors y = f(x) = (-17/15) * x + 17.

g(x) = 2x + 2y = 2x + 2*((-17/15) * x + 17)
g(x) = (-4/15) * x + 34

Dessine alors cette droite sur le graphique. Et considère alors seulement le segment de cette droite où x est compris dans l'intervalle ouvert ]0;15[. Sur ce segment, dans quel intervalle peut se trouver g(x) ?



Shokin

[invite890ebfab]

Comment as-tu trouvé cela ??? ce n'est pas la solution du 3.

Es-tu parti du système des deux équations suivantes ?

17x + 15y = 255
2x + 2y = 32

Une fois que tu trouves x et y, compare-les respectivement aux longueurs AB et AC. Tu devrais remarquer quelque chose, en te rappelant que AFDE est un parallélogramme (avec toutes ses propriétés). Tu pourras également observer les triangles FBD et ECD, prendre leurs mesures.



Jusqu'où peut augmenter x ? jusqu'où peut augmenter y ?



Shokin

je trouve x=15/2 et y=17/2 et en les comparants je trouve y=1/2ac et x=1/2ab puis comme afde est un parallèlogramme alors les côtés opposés sont de même longueurs et parralèles mais je vois pas en quoi je peux en déduire d milieu de [BC] pourrais tu m'expliquer ton raisonnement ?

[shokin]

je trouve x=15/2 et y=17/2 et en les comparants je trouve y=1/2ac et x=1/2ab puis comme afde est un parallèlogramme alors les côtés opposés sont de même longueurs et parralèles mais je vois pas en quoi je peux en déduire d milieu de [BC] pourrais tu m'expliquer ton raisonnement ?

Pour x et y, tu as trouvé les bonnes valeurs.

Donc :

Où se situe F sur le segment [AB] ?
Où se situe E sur le segment [AC] ?

Connaissant le théorème de Thalès, ça devrait te faire tilt :

BF/BA = BD/BC
CE/CA = CD/CB

Tu en déduis facilement la position de D sur le segment [BC].

Tu peux même dessiner le segment [EF] pour compléter le triangle DEF et observer alors quatre triangles égaux à l'intérieur du triangle ABC.



Shokin

[invite890ebfab]

Pour x et y, tu as trouvé les bonnes valeurs.

Donc :

Où se situe F sur le segment [AB] ?
Où se situe E sur le segment [AC] ?

Connaissant le théorème de Thalès, ça devrait te faire tilt :

BF/BA = BD/BC
CE/CA = CD/CB

Tu en déduis facilement la position de D sur le segment [BC].

Tu peux même dessiner le segment [EF] pour compléter le triangle DEF et observer alors quatre triangles égaux à l'intérieur du triangle ABC.



Shokin

mais oui merci beaucoup !!!!!! pour la question 7 quand j'ai trouvé la solution de l'équation je fais quoi ensuite ??? merci encore

[shokin]

mais oui merci beaucoup !!!!!! pour la question 7 quand j'ai trouvé la solution de l'équation je fais quoi ensuite ??? merci encore

Si tu as trouvé un x et un y tels que :

x = y
0<x<15
0<y<17

Alors le parallélogramme AFDE est bien un losange (car ayant quatre côtés égaux).

Tu as démontré que ce pouvait être un losange en trouvent au moins une paire (x;y) [en l'occurrence, il n'y en a qu'une seule] telle que les trois égalités pré-citées se vérifient. Tu peux même t'amuser à dessiner précisément ce losange.

N.B. : Tu auras bien sûr remarqué que la résolution de tout ce problème ne dépendait pas de la mesure de l'angle CAB (qui ne doit quand même pas être un multiple de 180° = pi radians).



Shokin

[invitefa2f7f13]

Est ce que tu peux me dire en quoi la question 5 démontre la question 4 ?

[shokin]

Dans la question 5, on veut simplement démontrer graphiquement (et non algébriquement) que 30<p<34. Donc par un dessin, des droites, des segments, par l'analyse du graphique.

Dans la question 4, on démontrait algébriquement que 30<p<34. Donc par du calcul, de la manipulation d'égalités, d'équations.



Shokin

[invitefa2f7f13]

Quand on fait le graphique, on obtient deux droites parallèles.
Je ne vois pas en quoi cela démontre la réponse trouvée dans la question 4 et de même comment résoudre graphiment p = 31 ?

[shokin]

6. Résoudre graphiquement ce problème pour p = 31.

Dans le 4 et 5, on a démontré que p ne pouvait se situer qu'entre 30 et 34.

Comme 31 est plus proche de 30 que de 34, D sera plus proche de B que de C. Reste à savoir de combien exactement.

Tu peux alors découper l'intervalle [30;34] en quatre intervalles égaux, tout comme tu peux découper le segment [BC] en quatre segments égaux.

Quand on fait le graphique, on obtient deux droites parallèles.

En fait, elles ne sont pas exactement parallèles.

Comme 30 et 34 sont les bornes supposées,. je te suggère de tracer les droites :

a1 : 2x + 2y = 30
a2 : 2x + 2y = 34
s : 17x + 15y = 255 (déjà tracée)

Trouve le point d'intersection entre :

a1 et s
a2 et s

Essaie avec d'autres droites :

a3 et s, où, dans a3, p=28
a4 et s, où, dans a3, p=36

Seuls les points d'intersections situés dans le cadran en haut à droite sont valables car ils ont leurs deux coordonnées (x et y) positives.



Shokin

[inviteb30dad70]

Dans le 4 et 5, on a démontré que p ne pouvait se situer qu'entre 30 et 34.

Comme 31 est plus proche de 30 que de 34, D sera plus proche de B que de C. Reste à savoir de combien exactement.

Tu peux alors découper l'intervalle [30;34] en quatre intervalles égaux, tout comme tu peux découper le segment [BC] en quatre segments égaux.



En fait, elles ne sont pas exactement parallèles.

Comme 30 et 34 sont les bornes supposées,. je te suggère de tracer les droites :

a1 : 2x + 2y = 30
a2 : 2x + 2y = 34
s : 17x + 15y = 255 (déjà tracée)

Trouve le point d'intersection entre :

a1 et s
a2 et s

Essaie avec d'autres droites :

a3 et s, où, dans a3, p=28
a4 et s, où, dans a3, p=36

Seuls les points d'intersections situés dans le cadran en haut à droite sont valables car ils ont leurs deux coordonnées (x et y) positives.



Shokin

je n'ai pas bien compris comment on peut résoudre graphiquement pour p=31 ?? il faut tracer une autre droite d'équation 2x+2y=31 ??? ou bien procéder autrement ??

[shokin]

je n'ai pas bien compris comment on peut résoudre graphiquement pour p=31 ?? il faut tracer une autre droite d'équation 2x+2y=31 ??? ou bien procéder autrement ??

Oui, tu traces cette droite.

Elle aura un point d'intersection avec la droite d'équation 17x + 15y = 255.

Tu constateras que ce point d'intersection se situe dans le cadran en haut à gauche (x positif et y positif), donc ça joue (car une longueur négative).

Si tu traces une droite d'équation 2x + 2y = p où p n'est pas compris dans l'intervalle [30;34], tu verras que le point d'intersection de cette droite avec celle de l'équation 17x + 15y n'est pas dans le cadran, donc ça ne joue pas car x et/ou y est négatif alors.

C'est pour cela que je te proposais d'essayer avec p = 30 et p = 34. Dans chacun des deux cas, le point d'intersection des deux droites se trouvera sur l'un des axes Ox ou Oy.



Shokin

[inviteb30dad70]

oui j'ai déjà tracé les deux droites avec p=30 et p=34 alors est-ce que je dois aussi tracer la droite avec p=31 ?

[inviteb30dad70]

oui j'ai déjà tracé les deux droites avec p=30 et p=34 alors est-ce que je dois aussi tracer la droite avec p=31 ?

par contre comment répondre à la question 6 graphiquement une fois que j'ai tracé la droite ?

[shokin]

par contre comment répondre à la question 6 graphiquement une fois que j'ai tracé la droite ?

Si cette droite croise la droite d'équation 17x + 15y = 255 dans le cadran en haut à droite, cela signifie que le périmètre peut être égal à 31.



Shokin

[inviteb30dad70]

oulah... je ne sais pas pourquoi je n'y est pas pensé plutôt. Merci beaucoup de ton aide.

[shokin]

A ton service ! (et au service des mathématiques )



Shokin