[MPSI] Sous-groupes de (R,+)

invite2c46a2cb · 18/01/2014, 19h21

Bonjour,

Je sollicite votre aide concernant une question d'un DM de maths que je ne comprends pas.

L'énoncé du DM est le suivant :
"Soit $\text{[math]}$ un sous-groupe de $\text{[math]}$ . On suppose $\text{[math]}$ . On veut montrer que $\text{[math]}$ est de la forme $\text{[math]}$ , pour un certain $\text{[math]}$ , ou que $\text{[math]}$ est dense dans $\text{[math]}$ ."

J'ai réussi une première question, consistant à montrer que $\text{[math]}$ admet une borne inférieure (nommée par la suite $\text{[math]}$ ).

Et voici la question qui pose problème :
"On suppose $\text{[math]}$ . Montrons par l'absurde que $\text{[math]}$ . Supposons donc que $\text{[math]}$ . Montrer qu'il existe $\text{[math]}$ tels que $\text{[math]}$ , et aboutir à une contradiction."
Mais si je prends l'exemple de $\text{[math]}$ , qui est bien un sous groupe de $\text{[math]}$ , et qu'on prend $\text{[math]}$ , il n'existe pas deux éléments de $\text{[math]}$ compris entre 0,7 et 1,4..

Comment expliquer cela ?

Merci d'avance.

**Médiat** · 18/01/2014, 19h35

Envoyé par Teddy-mension

Mais si je prends l'exemple de $\text{[math]}$ , qui est bien un sous groupe de $\text{[math]}$ , et qu'on prend $\text{[math]}$ , il n'existe pas deux éléments de $\text{[math]}$ compris entre 0,7 et 1,4..

Bonjour,

Vous pensez que 0.7 est une borne inférieure de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ ?

invite2c46a2cb · 18/01/2014, 20h32

Envoyé par Médiat

Bonjour,

Vous pensez que 0.7 est une borne inférieure de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ ?

Non, et je n'ai jamais dit ça :
$\text{[math]}$ est bien la borne inférieure de $\text{[math]}$ , et non celle de $\text{[math]}$ .
Et $\text{[math]}$ minore bien $\text{[math]}$ , et respecte toutes les hypothèses de l'énoncé, non ?

**Médiat** · 18/01/2014, 20h36

0.7 minore votre ensemble, mais n'en est pas une borne inférieure !

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite2c46a2cb · 18/01/2014, 20h59

Envoyé par Médiat

0.7 minore votre ensemble, mais n'en est pas une borne inférieure !

Mais avez-vous vraiment lu l'énoncé ?

Il s'agit de montrer que la borne inférieure de $\text{[math]}$ est justement dans $\text{[math]}$ .. Par l'absurde !
On suppose donc tout d'abord que $\text{[math]}$ n'est pas dans $\text{[math]}$ . Et on montre que pour n'importe quel $\text{[math]}$ , il existe $\text{[math]}$ [...] etc., ce qui va nous amener à une absurdité.

Mais dans mon exemple, cela ne fonctionne pas.. Où est mon erreur ?

**Médiat** · 18/01/2014, 21h22

Envoyé par Teddy-mension

Mais avez-vous vraiment lu l'énoncé ?

Bien sûr que non, c'est une perte de temps !

Envoyé par Teddy-mension

Mais dans mon exemple, cela ne fonctionne pas.. Où est mon erreur ?

Vous lisez les réponses ? Suis-je bête, Je suppose que vous pensez que c'est une perte de temps, en tout état de cause, je n'en perdrai plus avec vous !

inviteea028771 · 18/01/2014, 21h37

Envoyé par Teddy-mension

Mais avez-vous vraiment lu l'énoncé ?

Il s'agit de montrer que la borne inférieure de $\text{[math]}$ est justement dans $\text{[math]}$ .. Par l'absurde !
On suppose donc tout d'abord que $\text{[math]}$ n'est pas dans $\text{[math]}$ . Et on montre que pour n'importe quel $\text{[math]}$ , il existe $\text{[math]}$ [...] etc., ce qui va nous amener à une absurdité.

Mais dans mon exemple, cela ne fonctionne pas.. Où est mon erreur ?

0.7 n'est pas une borne inférieure de $\text{[math]}$

invite2c46a2cb · 18/01/2014, 22h17

Envoyé par Tryss

0.7 n'est pas une borne inférieure de $\text{[math]}$

J'en suis conscient, c'est forcément faux, puisque le but du DM est de montrer que la borne inférieure est dans G (ici, Z).
Mais d'après les hypothèses qui serviront à montrer l'absurdité (*), que nous suggèrent l'énoncé, ça rentre dans le cadre d'une borne inférieure.. Non ? (Vous voyez ce que je veux dire ?)

Envoyé par Médiat

Vous lisez les réponses ? Suis-je bête, Je suppose que vous pensez que c'est une perte de temps, en tout état de cause, je n'en perdrai plus avec vous !

Absolument pas.
Je sais très bien que 0,7 n'est pas une borne inférieure, et je pourrais vous remercier de me l'avoir rappelé. Mais le but de la question c'est justement de prendre un réel qui n'est pas dans G (et c'est pour ça que je prends comme exemple 0,7), de supposer que c'est une borne inf, et d'aboutir à une absurdité. Cette absurdité est notamment démontrée en se servant du fait qu'il existe b,c dans G tels que a < b < c < 2a.. Mais si on reprend mon exemple, ça ne marche pas..

Comprenez-vous ce que je ne comprends pas ?

Je m'excuse si j'ai été offensant, ce n'était pas le but.
____________
(*) A savoir :
- a > 0
- a n'est pas dans G
(donc n'importe quel a choisi au hasard ne sera forcément pas une borne inférieure.. ?)

inviteea028771 · 18/01/2014, 23h07

Il faut prendre un réel a qui est une borne inférieure.

C'est le fait que a soit une borne inférieure de G inter R+* qui n'est pas dans G inter R+* qui te donne l'existence de 2 (et même d'une infinité dénombrable) d'éléments de G inter R+* entre a et 2a

Si a est un simple minorant, on ne peut absolument rien dire

invite2c46a2cb · 18/01/2014, 23h23

Ah, donc en fait, mon erreur serait simplement d'avoir pris un exemple, alors qu'aucun nombre ne vérifie tout ça ? ^^'
(Ce qui finalement est logique puisque soit le nombre est la borne inférieure et elle appartient à G inter R+*, donc ça marche pas, soit elle n'est pas une borne inférieure, et donc ça marche non plus..)

(Merci de votre aide en tout cas)

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