Questions analyse complexe

[invitef02426d6]

Bonjour,

Expliquer pourquoi il est impossible de denir sur C une relation d'ordre compatible avec les operations algebriques.
Montrer que les racines non reelles d'une equation polynomiale a coecoefficient reels se presentent par paires de nombres complexes conjugues.

Donc je dois répondre à ces deux questions,j'aimerais bien qu'on m'explique un peu ce qu'il veut dire, je ne comprends pas la question en tant que telle pour savoir si je pourrais y répondre ou non.

Pour la deuxième si on prend un polynôme de deuxième ordre par exemple on aura des solutions de la forme a+ib et a-ib ( a et b quelconques dépendamment de l’équation) est ce que c'est ça qu'il veut dire ? mais comment le démontrer de façon plus générale ?

Merci à vous !
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[invite7c2548ec]

Bonjour à tous :

Bonjour,

Expliquer pourquoi il est impossible de denir sur C une relation d'ordre compatible avec les operations algebriques.

Si peut on dire que ?

Cordialement

[Tiky]

Pour la première question, on demande de montrer qu'il n'existe pas de relation d'ordre sur telle que :
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La question est fausse. Je te laisse trouver un contre-exemple.
Elle devient vraie si on ajoute en plus l'hypothèse que l'ordre est total, c'est-à-dire :


On peut en fait montrer qu'un corps commutatif K est totalement ordonnable si et seulement si :

Le sens direct est très facile à démontrer et c'est ce dont tu as besoin pour démontrer que n'est pas totalement ordonnable.

Dans la seconde question, on te demande de remarquer que si est racine d'un polynôme réel P, alors le conjugué de est aussi racine de P.

[acx01b]

je cite un participant de wiki/Discussion:Relation_d'ordre#Re lation_d.27ordre_et_complexes :

on peut munir l'ensemble des nombres complexes d'un ordre total qui respecte la structure de groupe additif. Par contre, aucun ordre total n'est compatible avec la structure d'anneau car on ne peut pas classer i par rapport à 0 ; que l'on choisisse 0 < i ou 0 > i, on obtiendrait 0 < -1 en élevant au carré chaque membre de l'inégalité.

Donc on essaye i = 0 :
1+1i = 1, et (1+1i)(1+1i) = 0 mais 1 (1+1i) = 2 donc 2 = 0, donc aucun ordre n'est compatible avec la structure d'anneau des complexes (à part z = 0 pour tout complexe)

[A voir en vidéo sur Futura]