[exo] (enfin, presque) primitive wanted!

[invite6de5f0ac]

Bonjour,

Je cherche désespérément une primitive de
f_k(t) = (t ^ k).exp (-t)
On voit immédiatement que
(d/dt) f_k(t) = k.f_(k-1)(t) - f_k(t)
ce qui ruine tout espoir d'intégration par parties... du moins toute tentative trop directe. Bien sûr, cette récurrence est exploitable, mais je voudrais une formule "fermée", i.e. qui ne dépende que de t et k (et de exp(-t), naturellement).

Ah, tant que j'y suis: même question avec exp (-t²) au lieu de exp(-t).

Tout tuyau sera le bienvenu... Merci d'avance.

-- françois
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[invite4793db90]

Salut,

mais si ça marche bien par partie:



En répétant k fois l'ipp, il vient:


soit:



(en espérant ne pas avoir fait d'erreur de calcul)

Sinon, pour la deuxième intégrale, c'est plus délicat: si k=0: pas de primitive exprimable avec les fonctions usuelles.

Si k=1, c'est trivial, et si k>1, il faudrait aussi voir ce que donne une ipp.

Cordialement.

[invite6de5f0ac]

Salut,

mais si ça marche bien par partie:



En répétant k fois l'ipp, il vient:


soit:



(en espérant ne pas avoir fait d'erreur de calcul)

Sinon, pour la deuxième intégrale, c'est plus délicat: si k=0: pas de primitive exprimable avec les fonctions usuelles.

Si k=1, c'est trivial, et si k>1, il faudrait aussi voir ce que donne une ipp.

Cordialement.

Merci!

C'est bien ce à quoi je suis arrivé, mais pour une raison obscure (i.e. qui ne regarde que moi ) je n'aime pas trop avoir une somme (même finie) dans une expression "fermée"...

Cela dit, je pense que c'est inévitable; après tout, on a bien I_k = P(x) exp(-x) où P est un polynôme qui ne dépend que de k, et c'est bien naturel (c'est d'ailleurs sous cette forme que j'avais commencé à chercher "empiriquement" une solution).

Mon problème vient de ce que je dois réinjecter cette formule dans une autre expression, qui elle-même... ahem... ça va faire beaucoup de Sigmas!

BTW, quel logiciel utilises-tu pour faire des jolies formules qui passent sur le forum? une variante de TeX, on dirait?

Merci encore,

-- françois

[invite4793db90]

Salut,

en effet, je ne crois pas que l'on puisse réduire davantage la somme. On peut juste remarquer que c'est k! fois le DL à l'ordre k de l'exponentielle, mais bon...

Sinon pour les symboles c'est en effet une variante de latex: mimetex.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6de5f0ac]

Salut!

Merci pour le lien vers MimeTeX. Je ne connais pas trop bien TeX, j'utilise plus facilement les champs {eq} de Word -- c'est bien suffisant pour ce que je fais, il est rarissime que j'aie des indices en cascade, style .

Je reprends le calcul de primitive, pas pour te corriger, mais pour vérifier si j'ai bien compris la syntaxe mimetex...

Soit à calculer

En intégrant par parties, on voit que

d'où, en itérant l'intégration par parties, et en faisant bien attention à ,

il vient finalement

Ouf! ça a l'air de passer... mais la taille des caractères laisse à désirer.

Merci encore!

-- françois

[invitec314d025]

Ouf! ça a l'air de passer... mais la taille des caractères laisse à désirer.

Tu peux augmenter la taille de la police, et il y a une section "Test" si tu veux faire des essais