Recouvrement ouvert de Q de mesure majorée

[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonsoir,

il y a quelques temps déjà j'ai eu une idée sur le fait de recouvrir à l'aide d'intervalles centrés en chaque rationnel, dont la somme des longueurs soit finie.

Pour se faire on se donne un comptage sur , c'est à dire une bijection . Ensuite, une série convergente à termes positifs. On définit alors pour tout rationnel , l'intervalle par . On peut alors affirmer que . On a donc un recouvrement ouvert de . De plus sa mesure est majorée par .

Ce résultat est un peu paradoxal, vis à vis de la densité de dans .

La question qui m'embête un peu est, comment trouver un réel qui ne soit pas dans mon recouvrement? Aussi bien dans un cas général que dans un cas particulier...

Si quelqu'un a une idée, merci.

RoBeRTo
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[gg0]

Bonsoir.

"comment trouver un réel qui ne soit pas dans mon recouvrement? " En le prenant au hasard, puisque la plupart des réels n'y sont pas
Bon, sans plaisanter, comme on ne sait pas définir simplement un comptage de , il va être difficile de trouver où sont les réels "non atteints". mais comme on peut inclure les rationnels dans un ensemble de mesure aussi petite que l'on veut, la plupart des réels ne sont pas dans cet ensemble. Comment cela se passe-t-il ? Pour la plupart des réels, disons que le réel s'appelle x chaque rationnel proche r est au centre d'un intervalle dont la largeur est inférieure à 2|x-r|, ce qui fait que x n'est dans aucun des intervalles. Cependant, comme il y a des rationnels aussi proches de x que l'on veut, x est limite d'une suite de bornes d'intervalles.

Cordialement.

Nb : Je réponds au fur et à mesure que les idées me viennent suite à ta question.

[RoBeRTo-BeNDeR]

Merci gg0, le problème du comptage est déjà un premier obstacle, mais même sans le comptage, qui ne permet que de passer par les séries usuelles d'ensemble d'indices , on peut s'intéresser ici en fait à une "simple" application telle que . Enfin je ne sais pas si on peut trouver un exemple "simple" d'une telle fonction, définie par exemple à partir du numérateur et dénominateur du rationnel sous forme irréductible.

Une petite idée, pour tout rationnel q notons l'intervalle l'encadrant pour la fonction r définie plus haut.

Soit un rationnel, définissons la suite d'intervalles ouverts suivante:

, et pour tout n, , notons alors la réunion des termes de la suite U. Nécessairement, est un intervalle ouvert et borné. Je pense que deux bons candidats pourraient être ses bornes. Enfin, d'un coté chacune, elles ne sont pas touchées par des intervalles centrés en des rationnels. À savoir si elles sont non touchées de l'autre...

[gg0]

Bonjour.

Pour ton application, tu peux considérer une série double convergente u et associer à la fraction irréductible positive et à son opposé la même image .

Je n'ai pas trop compris la suite. Tu penses encadrer le rationnel q par un intervalle de largeur 2r(q) ?
Ensuite, tu définis une suite dont tu dis "Nécessairement, est un intervalle ouvert et borné." ?? Ouvert, effectivement, comme réunion d'ouverts, mais borné ? A chaque étape de la suite, les s'agrandissent.
Enfin, même s'il y a un sup, rien ne dit qu'il est non rationnel.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[RoBeRTo-BeNDeR]

Ben Vq est borné du fait que c'est un intervalle ouvert de mesure bornée, les intervalles sont inclus les uns dans les autres, et donc Vq est inclus dans mon recouvrement ouvert de mesure bornée. Après oui ses bornes, sont elles rationnelles ou pas, pas si simple de savoir si tel est le cas. Mais si par chance l'une est irrationnelle, il faudrait voir si du côté restant elle ne fait pas parti d'un des intervalles centrés en un rationnel.

Ben mon application r n'est là que pour éviter le comptage de Q, inutile sinon. On peut la voir comme si l'on a un comptage.

La série double implique une symétrie, ce qui n'est pas gênant mais pas imposée au départ.

[gg0]

Effectivement,

j'avais raté l'idée pour Vq.
Je n'ai pas compris ce que tu appelles "symétrie" pour la série double, mais ça n'a pas d'importance, c'est seulement un moyen de montrer qu'il y a des facilités à fabriquer des fonctions r.

Bonne réflexion !

[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour à tous ceux qui passeront par là. Je rouvre ce fil.

J'ai fais quelques légères avancées.

Reprenons à Zéro!

On se donne avec . Je noterai alors pour tout rationnel q, ainsi que

Il est clair que la somme des rayons des intervalles définissant étant finie, alors est non vide, même infini non dénombrable, je cherche à construire ses éléments.

On note alors et pour tout entier n, on définit .

Ainsi de proche en proche on créé un intervalle continu contenant les qui se touchent. Enfin on définit .

On montre simplement que l'on a, pour tout q' de , alors est inclus dans . De même pour tout q' qui n'appartient pas à , alors et ont une intersection vide.

Avec un peu plus de difficultés on peut montrer que l'on a pour tout q et q', .

Une fois cela de démontré, je défini la relation d'équivalence et quotiente par cette relation que l'on notera et pour tout p de on définit par où q est un représentant de p.

On a alors que est une partition de .

Or pour tout p de , est un intervalle ouvert et fini (ouvert car réunion d'ouverts, fini car la somme des rayons des intervalles réunis pour le composer est finie). Ainsi Il s'écrit sous la forme . Et au vu de ce qui a été démontré avant, il est clair que et sont deux réels de .

Seulement la réunion reste dénombrable, elle ne donne ainsi pas tous les éléments de .

Je vois mal comment maintenant réussir à récupérer l'infinité indénombrable de réels restant dans , ni même réussir à les concevoir.

Je me dis par exemple que pour eux, les réels x de , il doit y avoir une suite d'intervalles de la forme dont l'une des bornes (au moins) converge vers x. Et ainsi peut être que les x restants sont les limites de suites convergentes de bornes d'intervalles de la forme . Peut-être un résultat de topologie peut-il aider...

Merci par avance à ceux qui répondront à ce fil.

RoBeRTo.

[gg0]

Bonjour.

Tu peux considérer les suites d'éléments de divergentes dans mais convergentes dans . Intuitivement, leurs limites sont tous les éléments de . Et pour la preuve, il te suffit de prouver ce que tu disais :

Je me dis par exemple que pour eux, les réels x de , il doit y avoir une suite d'intervalles de la forme dont l'une des bornes (au moins) converge vers x.

.
En considérant une suite de rationnels qui converge vers x, et remarquant que x n'est dans aucun des .

Cordialement.

[RoBeRTo-BeNDeR]

Merci de ton aide, je vais essayer de démontrer tout cela et de le mettre au propre par écrit !

Bonne journée!