Interpolation de vecteur sur une surface (création d'un champ vectoriel)

[thomas5701]

Bonjour,

Je me posais la question suivante pour laquelle je n'ai pas encore trouvé de réponse. Il s'agit d'un problème d'interpolation, mais pas de scalaire, de vecteurs. Si j'illustre mon problème :

Imaginons que pour un instant t, je possède 4 vecteurs aux 4 sommets d'un carré ((0;0) (0;1) (1;0) (1;1)). Ma question est la suivante, existe t'il une méthode pour trouver un champ de vecteur à l'intérieur de ce carré. La question peut paraître bizarre, car il peut exister une infinité de champ de vecteur pouvant satisfaire cela car les données ne sont pas suffisantes.

Mais dans le cas par exemple d'un écoulement ( Vecteur représentant la vitesse d'un vent et sa direction) ? Peut-on trouver une méthode qui puisse se rapprocher de la réalité ?

Merci d'avance de pouvoir m'éclairer sur ce problème !

Cordialement,
Thomas5701
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[gg0]

Bonjour.

On peut simplifier le problème en traitant indépendamment les coordonnées des vecteurs. On se ramène à "existe t'il une méthode pour trouver un champ de nombres à l'intérieur de ce carré" connaissant les nombres aux sommets ?
Comme un champ de nombre sur une surface à 2 dimensions est la même chose qu'une fonction réelle de 2 variables, on arrive à "existe t'il une méthode pour trouver une fonction f(x,y) à l'intérieur de ce carré" connaissant f(0,0), f(0,1), f(1,0) et f(1,1) ? Ou, en traduction géométrique : connaissant 4 points de l'espace, peut-on trouver une surface qui passe par ces 4 points. En général, un plan ne convient pas.

J'espère que tu vois mieux la diversité des réponses possibles. Si tu as des éléments supplémentaires, tu peux sans doute réduire les possibilités.

Cordialement.

[invite14e03d2a]

Imaginons que pour un instant t, je possède 4 vecteurs aux 4 sommets d'un carré ((0;0) (0;1) (1;0) (1;1)). Ma question est la suivante, existe t'il une méthode pour trouver un champ de vecteur à l'intérieur de ce carré. La question peut paraître bizarre, car il peut exister une infinité de champ de vecteur pouvant satisfaire cela car les données ne sont pas suffisantes.

Je note le vecteur au sommet , and . Alors une solution a ton probleme est




Dans le cas d'une surface quelconque, en utilisant des functions "bump" (j'ai oublie le nom en francais - je parle d'une fonction nulle en dehors d'une compacte) et une partition de l'unite, on doit (a verifier) pouvoir bricoler quelque chose. Par contre, le champ resultant sera nul un peu partout.

[invite179e6258]

si le vecteur représente la vitesse du vent, il faut une fonction qui respecte la physique (l'équation de Navier-Stokes? non, ça c'est en 3D je crois). Mais je pense que pour avoir une solution unique il faut les données sur tout le périmètre du carré, pas seulement aux coins.

[A voir en vidéo sur Futura]

[thomas5701]

Bonjour et tout d'abord merci de vos réponses claires et rapides !

Effectivement, enlever la dimension vecteur permet de simplifier le problème. Mais en traitant indépendamment les coordonnées, on ne risque pas perdre des informations (j'y réfléchirai, je vous avoue que je n'ai pas encore eu le temps de vraiment m'y pencher) ?

@taladris : Effectivement on peut aussi voir le problème comme une moyenne pondérée (si je comprends bien ton raisonnement). Je vais essayer de faire ça et voir si les résultats sont bons. Je souhaitais obtenir ces valeurs pour affiner un modèle, donc je saurais rapidement si les résultats sont cohérents. Sinon, la traduction de Bump function serait "Fonction C infinie sur un support compacte".

Et enfin, comme il s'agit de mécanique des fluides, il faudrait en effet partir des équations de bases. Ou au moins avoir des hypothèses sur le type d'écoulement. Seulement, je n'ai que les 4 points de mesures. Mais j'essaie de raisonner à l'envers : plus mes résultats finaux sont bons, plus ma fonction d'interpolation est proche de la réalité.


Merci et cordialement,
thomas5701