Système à trois équations

[invitea250c65c]

Bonjour a tous,

Je ne suis pas expert en mathématiques (pas encore ) et suis en seconde.
Nous avons en mathématiques appris la résolution d'un systeme a deux équations a deux inconnues (x et y) et nous avons également vu que les deux inconnues correspondaient aux coordonnées du point d'intersection des deux droites d'équations posées dans le systeme.

Comme je suis curieux, j'ai tenté chez moi de résoudre un systeme de trois équations a trois inconnues:

3x+2y+z=31 (1)
4x+y+2z=37 (2)
2x-6y+2z=-16 (3)

En fait j'ai pris 3 nombres x, y et z connus et j'ai essayé de les retrouver a partir de ces trois opérations que j'avais moi même calculées connaissant x,y et z.
Je suis bien retombé sur mes trois nombres que j'avais au depart, c'est a dire:

x=2
y=7
z=11

A partir de la, j'ai tenté de tracer les trois droites correspondantes (y en fonction de x), sachant que:

z=-

En fait j'ai trouvé cette relation en lors de la résolution du système.

J'ai donc cherché les équations réduites de chaque droite et ai trouvé:

y=- (1)
y=- (2) (3)

J'ai tracé ces doites et ai trouvé en x et en y (coordonnées) les valeurs attendues.

Ce qui m'intrigue dans cette histoire est que sur les trois droites, deux ont la même équation. J'ai réessayé avec un autre systeme et cela a donné la même chose: deux équations de droite similaires sur trois.

J'ai montré mes systemes a mon professeur et il m'a dit qu'en fait avec trois équations et trois inconnues, c'était une histoire de géométrie dans l'espace et que le point d'intersection était en fait un point d'intersection de 3 plan et que le fait d'avoir 2 équations de droite similaires pouvait s'expliquer.

Je vous demande donc si vous pouvez m'expliquer cela et me repréciser les hsitoires de géométrie dans l'espace car je n'ai pas tres bien compris, sachant que je ne suis qu'en seconde générale.

Merci d'avance
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[invite8241b23e]

Si je ne dis pas de bêtise, une équation à trois inconnues définit dans un espace à 3 dimensions un plan.

La résolution d'un système de 2 équations à 3 inconnues donne donc une droite (intersection de 2 plans).

Et pour la résolution d'un système de 3 équations à 3 inconnues, on obtient un point : intersection de 3 plans, ou, intesection d'une droite et d'un plan.

[invitea3eb043e]

Ce qui m'intrigue dans cette histoire est que sur les trois droites, deux ont la même équation. J'ai réessayé avec un autre systeme et cela a donné la même chose: deux équations de droite similaires sur trois.

Imagine que tu aies trouvé 3 équations différentes : ton système n'aurait pas eu de solution en général (3 droites en général ne se coupent pas, alors que 3 plans se coupent en général en 1 point).

[invitea250c65c]

Bonjour,

Justement, je pensais qu'un tel systeme donnerait 3 droites qui se couperaient en un point de coordonnée x et y et que l'on pourrait exprimer z en fonction de y ou de x.

C'est vrai que c'est plus logique maintenant que j'y ai plus refléchis qu'il y ait une histoire de géométrie dans l'espace (car trois inconnues).

Donc en fait il y a deux plans qui se coupent en une droite (les deux équations sont similaires). Cette droite (intersection des deux plans) coupe elle même une autre droite qui correspond a un autre plan, mais comme nous n'avons qu'un plan a 2 coordonnées x et y nous ne voyons qu'une droite.
Donc, si on se placait dans un repere dans l'espace, on aurait une droite (l'intersection des deux plans) qui couperait un plan.

On aurait donc a l'arrivée une droite (intersection de la droite (qui est l'intersection des deux plans) avec le troisieme plan).

Est-ce bien cela?

Mais le probleme c'est que c'est assez compliqué a expliquer comme ca et je n'ai jamais fait de repere dans l'espace. Pourriez vous me monter a quoi cela ressemble avec trois équations de droites dont deux sont similaires car je dois avouer que je comence a m'embrouiller .

Merci d'avance .

Ah oui une derniere question que je voulais vous poser: dans un repere dans l'espace, exprime-t-on bien y en fonction de x et z?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

Dans l'espace, une droite est définie par 2 équations.
Par exemple, l'ensemble de tes 2 équations (1) et (2) est l'équation d'une droite. L'équation (3) est celle d'un plan et en résolvant tout ça, tu cherches en fait l'intersection de la droite et du plan.
Tu combines tes équations comme tu veux, bien entendu.
Sauf cas pathologique, tu trouveras toujours un point.
Quand tu combines linéairement les équations (1) et (2), tu ne fais rien d'autre que trouver d'autres plans qui se coupent selon la même droite (on appelle cela un faisceau de plans).

[invitea250c65c]

Bonsoir et merci,

J'aurais une autre question au sujet de la résolution de systemes:

Comment résoudre:

xy=60
=169

Je pense qu'il faut se servir des identités remarquables mais j'ai deja cherché et je tourne en rond.

Pourriez vous juste me mettre sur la piste car j'aimerai reussir seul.

Merci d'avance

[invitec314d025]

Tu peux essayer x² + 2xy + y² et x² -2xy + y²

[invite7d436771]

Bonjour,

Ton système n'est pas très difficile à résoudre en utilisant une bonne vieille substitution mais tu ne sais pas encore résoudre les trinomes du second degré (ax^2+bx+c) donc pas ce système. J'expliques quand même au cas où qqun voudrait le faire.Tu as donc (x ne peut pas être nul car le produit de 0 par n'importe quoi donne zéro - donc tu peut bien diviser par x) tu obtiens . Tu remplaces cela dans ta deuxième équation. Tu multiplies par . Tu as alors un trinôme de degré 4. En posant tu as un trinôme du second degré que tu résouds. Reste ensuite à remplacer par et tu obtiens tes solutions !
NB on peut aussi utiliser, à mon avis et pour ceux qui sont au moins en terminale S, les nombres complexes pour développer

Cordialement,

Nox

[invite7d436771]

Rebonsoir,

au fait avec la méthode décrite on obtient bien ou

Cordialement,

Nox

[invitea250c65c]

Bonsoir,

Merci de tes reponses, mais en fait je dois le faire avec l'identités remarquables mais je tournais en rond.
Je vais réessayer ca et puis merci pour les solutions je verrais si je trouve bien ca.

[invite52c52005]

Rebonsoir,

au fait avec la méthode décrite on obtient bien ou

Cordialement,

Nox

Bonsoir,

il manque des solutions (équation 4ème degré). Par exemple (-5, -12). Mais il y en a encore.

Et l'astuce proposée par matthias permet de conclure plus rapidement (et ça utilise les identités remarquables).