Représentants continus d'éléments d'espaces de Sobolev

[invite6a155a96]

Bonjour,

Je me pose une question dont aucun livre ne m'a encore donné de réponse exacte et définitive. Voici mon problème : en dimension 1 on sait que tout élément de (où désigne un intervalle réel) admet un unique représentant continu, plus précisemment on a le théorème suivant :

THEOREME : Soit , alors il existe une fonction telle que presque partout sur I et pour tout .

Ma question est la suivante : peut-on généraliser ce résultat en dimension quelconque (ie en remplaçant I par, par exemple, un ouvert ?

Et si non, pourquoi ? Et si oui, quelle serait la formulation rigoureuse du pendant n-dimensionnel du théorème cité plus haut ?

Merci d'avance !

IC
-----

[inviteea028771]

En dimension 2, il existe des fonctions qui n'ont pas de représentant continu, par exemple, la fonction est et n'admet pas de représentant continu.

Par contre, la discontinuité serra toujours de dimension n-2 : un point en dimension 2, une ligne en dimension 3... Mais je n'ai pas de théorème sous la main qui décrit cette propriété