Espace euclidien, Hilbert, sobolev.... un peu trop d'espaces à mon gout!

[membreComplexe12]

Bonjour tous,

J'aimerai bien comprendre une fois pour toute qu'es ce que tous ces espaces et leur différences mutuelles.
Je ne suis pas un matheux donc ne soyez pas trop "violent" s'il vous plait.

Je vous explique les espaces que je connais (de nom ou plus) et que j'aimerai comprendre, pouvez vous me dire si vous etes d'accord:

espaces vectoriel: espace que l'on defini pour pouvoir travailler avec des vecteurs, ces vecteurs peuvent etre à composantes dans R ou dans C

espaces euclidiens: meme chose mais on defini le produit scalaire dedans et donc la norme par la meme occasion

espace de Banach: comme euclidien mais on defini une norme pour les nb complexes donnée par le produit scalaire d'un complexe par son conjugué

==> Donc pour l'euclidien il n'y avait pas de norme pour des nb complexes?

espaces de Hilbert: comme un espace de banach sauf que l'on rajoute le produit scalaire de fonction (produit hermitien?). et donc l'idée de norme de fonction

==> Espaces prehilberien? aucune idée

espaces de Sobolev: comme Hilbert sauf que les normes sont bornée


Merci de m'indiquer si vous etes d'accord avec ce que je dis et si non merci de me corriger, il y a t il d'autres espaces en plus de ceux que j'ai cité?

Au faite ces espaces on y fait appel pour pourvoir justifier les formules que l'on emploi en physique, et selon le type de formule on doit avoir des fonctions ou objets mathematiques qui appartiennent à des espaces plus ou moins restreignant pour nos equations?
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[invite986312212]

espaces vectoriel: espace que l'on defini pour pouvoir travailler avec des vecteurs, ces vecteurs peuvent etre à composantes dans R ou dans C

définition plus que vague et fausse: le corps n'a pas de raison d'être R ou C.

espaces euclidiens: meme chose mais on defini le produit scalaire dedans et donc la norme par la meme occasion

là pour le coup il s'agit d'espace vectoriel réel, et tu as oublié la dimension finie.

espace de Banach: comme euclidien mais on defini une norme pour les nb complexes donnée par le produit scalaire d'un complexe par son conjugué

là c'est faux: un espace de Banach est juste un espace vectoriel normé complet. Le corps n'est pas nécessairement C.

espaces de Hilbert: comme un espace de banach sauf que l'on rajoute le produit scalaire de fonction (produit hermitien?). et donc l'idée de norme de fonction

c'est mal dit, ce n'est pas un espace normé auquel on "rajoute" un produit scalaire, c'est plutôt l'inverse: la norme découle du produit scalaire.

Espaces prehilberien? aucune idée

comme Hilbert mais pas complet

espaces de Sobolev: comme Hilbert sauf que les normes sont bornée

celui-là est plus compliqué. Regarde ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_de_Sobolev

[membreComplexe12]

merci pour tes reponses mais pourrais tu completer un peux stp:

définition plus que vague et fausse: le corps n'a pas de raison d'être R ou C.

quand tu dis que le corps n'a pas de raison d'etre R ou c je ne comprends pas trop, en fait ca peut etre n'importe quoi d'autre c'est bien cela?
Et que rajouter pour l'explication de la necessité d'avoir un espace vectoriel, le faite qu'il est muni d'un produit scalaire?

là pour le coup il s'agit d'espace vectoriel réel, et tu as oublié la dimension finie.

Qu'entends tu par espace vectoriel reel? que les composantes doivent être dans R ? et la definition finie ca veut dire quoi exactement?

là c'est faux: un espace de Banach est juste un espace vectoriel normé complet. Le corps n'est pas nécessairement C.

espace vectoriel normé complet => complet signifie quoi ?

c'est mal dit, ce n'est pas un espace normé auquel on "rajoute" un produit scalaire, c'est plutôt l'inverse: la norme découle du produit scalaire.

=> oui c'est ce que je voulais dire...

comme Hilbert mais pas complet

=> tjs cette histoire de complet et pas complet...

celui-là est plus compliqué. Regarde ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_de_Sobolev

=> J'ai regardé un peut sur wiki et j'ai un peux de mal, la seule chose que j'ai compris et si une fonction appartient à L² ca veux dire que ca norme est bornée


merci de ton aide ambrosio

[invite4ef352d8]

Je crois qu'il te manque une très grosses bases pour comprendre : ce qu'est un espace vectoriel :

Un espace vectoriel sur un coprs K (si tu ne sais pas ce qu'est un corps, remplace K par R, C, Q où même Z/pZ si tu sais ce que c'est) c'est un ensemble E munie d'une loi '+', d'un element 0 et d'une opération externe : K *E->E qui a (k,x) -> k.x

vérifiant une série d'axiome :

1) (E,+,0) est un groupe abélien
2) k.(x1+x2) = k.x1+k.x2
3) (k1+k2)x=k1.x+k2.x
4) k1.(k2.x) = (k1.k2).x
... et je crois que j'ai rien oublié ^^
(où k,k1,k2 désignent des élèments de K et x,x1,x2 des élèments de E)

Un espace euclidien : c'est un espace vectoriel réel (K=R) (de dimension fini)munie d'un produit sclaire (=une forme bi-linéaire définie positive)

Un espace Hermitien : C'est un espace vecotoriel complexe (K=C) de dimension fini munie d'un produit scalaire Hermitiens (ie une forme "sesquilinéaire" comme bi-linéaire, sauf qu'elle est linéaire par rapport à la première variable et sa conjugué et linéaire par rapport à la seconde variable)

Un espace de Banach : un espace vectoriel réel ou complexe (ou à la limite sur n'importe quel corps valué complet) munie d'une norme et complet pour cette norme.

Un espace pré-hilbertiens : Euclidien ou Hermitiens, mais pas forcement de dimension fini.

un espace Hilbertiens : c'est un espace Pré-hilbertiens qui est complet pour la norme induite par le produit scalaire... complet veux dire "toute les suite de cauchy converge" c'est une notion de topologie.

Espace de Sobolev : la en revanche c'est pas un type d'espace, ca désigne certain espaces particulier.

si tu mélange toutes ces notions, c'est peut-etre parceque tu es passé un peu trop vite sur les bases... je sais pas qu'elles étude tu fais en ce moment, mais normalement la notion d'espace vectoriel c'est quelque choses qu'on peut voir en L1, la complétude et les espaces de Banach c'est plutôt en L3, et les espaces de Sobolev rarement avant le M2.

bref normalement on voit tous ca étaler sur 5 ans environ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[membreComplexe12]

Je crois qu'il te manque une très grosses bases pour comprendre : ce qu'est un espace vectoriel :

Un espace vectoriel sur un coprs K (si tu ne sais pas ce qu'est un corps, remplace K par R, C, Q où même Z/pZ si tu sais ce que c'est) c'est un ensemble E munie d'une loi '+', d'un element 0 et d'une opération externe : K *E->E qui a (k,x) -> k.x

vérifiant une série d'axiome :

1) (E,+,0) est un groupe abélien
2) k.(x1+x2) = k.x1+k.x2
3) (k1+k2)x=k1.x+k2.x
4) k1.(k2.x) = (k1.k2).x
... et je crois que j'ai rien oublié ^^
(où k,k1,k2 désignent des élèments de K et x,x1,x2 des élèments de E)

Un espace euclidien : c'est un espace vectoriel réel (K=R) (de dimension fini)munie d'un produit sclaire (=une forme bi-linéaire définie positive)

Un espace Hermitien : C'est un espace vecotoriel complexe (K=C) de dimension fini munie d'un produit scalaire Hermitiens (ie une forme "sesquilinéaire" comme bi-linéaire, sauf qu'elle est linéaire par rapport à la première variable et sa conjugué et linéaire par rapport à la seconde variable)

Un espace de Banach : un espace vectoriel réel ou complexe (ou à la limite sur n'importe quel corps valué complet) munie d'une norme et complet pour cette norme.

Un espace pré-hilbertiens : Euclidien ou Hermitiens, mais pas forcement de dimension fini.

un espace Hilbertiens : c'est un espace Pré-hilbertiens qui est complet pour la norme induite par le produit scalaire... complet veux dire "toute les suite de cauchy converge" c'est une notion de topologie.

Espace de Sobolev : la en revanche c'est pas un type d'espace, ca désigne certain espaces particulier.

si tu mélange toutes ces notions, c'est peut-etre parceque tu es passé un peu trop vite sur les bases... je sais pas qu'elles étude tu fais en ce moment, mais normalement la notion d'espace vectoriel c'est quelque choses qu'on peut voir en L1, la complétude et les espaces de Banach c'est plutôt en L3, et les espaces de Sobolev rarement avant le M2.

bref normalement on voit tous ca étaler sur 5 ans environ...

merci beaucoup c'est beaucoup plus clair à present, en fait je n'ai pas un cursus de math mais de mecanicien, j'ai biensur vu les espaces vectoriel (un peu les euclidiens) mais pas d'autres, juste des autres notions vu en cours de physique.

En fait ca me plait pas du tout ces cours de math car je ne vois pas d'interet mais j'ai envi de comprendre les grandes lignes...et je crois qu'a present ca va.


juste un truc: c'est quoi une suite de Cauchy?


merci

[invite4ef352d8]

juste un truc: c'est quoi une suite de Cauchy? >>> Ca c'est un peu technique : c'est une suite tel que :
pour tout epsilon>0, il existe un entier N tel que pour tous n,m>N ||x_n - x_m||<epsilon.


il est assez facile de voir que toute suite convergente est de Cauchy, un espace est dit complet si la reciproque est vrai : toute les suite de cauchy converge.


Moralement, ca veut dire qu'il ne "manque rien" à l'espace : dans un espace non complet, il y a des elements qu'on peut "deviner" mais qui pourtant n'existe pas : ce sont les "limites" que devrait avoir les suites de cauchy qui ne converge pas.

cette notion semble un peu technique à première vue, mais avec un peu de pratique elle est très intuitive et dans tous les cas extrémement importante ! (c'est elle qui est à la base de presque tout les théorèmes très puissants d'analyse fonctionelle...)

[invite986312212]

souvent dans les applications, le fait qu'un espace soit complet s'interprète comme le fait que la limite d'une certaine suite appartient bien à l'espace, cela parce que les espaces fonctionnels qu'on considère sont des sous-espaces vectoriels de l'espace de toutes les fonctions. Par exemple, si l'espace des fonctions continues bornées est complet (selon la norme), la limite d'une série de fonctions continues bornées sera automatiquement continue et bornée (si elle existe). C'est donc très utile en physique, où on n'a pas toujours de solutions explicites de certaines équations fonctionnelles, mais où on peut construire une suite d'approximations.

[membreComplexe12]

merci de votre aide c'est gentil