Limite avec log et factorielle

[invite7545be06]

Bonjour,

Je voudrais savoir comment je pourrais démontrer que

Merci
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[inviteaf1870ed]

Si tu connais la formule de Stirling c'est facile, ou alors par la moyenne de Cesaro, en développant le log(n!)

[invite9617f995]

Bonjour,

Sinon, si tu connais les fonctions Gamma et digamma tu peux étudier la fonction :


On as f(n)=log(n!)/n donc les limites de ta suite et de f(x) en l'infinie sont égales.

Tu transformes le log en ln, puis tu utilise la règle de l'Hôpital, qui va te donner la limite de la fonction digamma multipliée par une constante.

[inviteaf1870ed]

Je trouve que Cesaro est le plus élégant.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7545be06]

Merci beaucoup pour vos réponses. Je ne connais pas encore les fonctions gamma et digamma (peut-être l'année prochaine...). Mais avec la formule de Stirling (que je ne connaissais pas non plus), ça me paraît bien.

[invitea3eb043e]

Et si tu ne connais ni Stirling ni Cesaro, ni fonction gamma, ni rien, tu peux y arriver quand même en faisant un petit dessin et en voyant que la somme des logarithmes de 1, 2,...n est plus grande que l'intégrale de 2 à n de la fonction Log(x) qui est facile à intégrer.
Ensuite tu peux déduire que to u(n) est plus grand que Log(n)

[invitec317278e]

sinon, on peut écrire que, sauf erreur stupide :


avec E la partie entière, et d'après la croissance du log

[invite7545be06]

Bonjour,

Jean-Paul, ta méthode a l'air intéressante, j'avais pensé à écrire , mais je ne comprends pas... quel dessin dois-je faire exactement ?

Pour l'intégrale pas de problème, ça je sais calculer, et ensuite ça me donne bien une limite qui tend vers l'infini. Mais comment peut-on dire que cette intégrale est plus petite que la somme précédente (j'aurais même dit le contraire)

(Thorin, je n'ai pas compris ton inégalité non plus...)

[invitea3eb043e]

Tu dessines la fonction Ln et aussi les barres de largeur 1 après la valeur 1.
Entre 1 et 2, ça vaut Ln(2)
Entre 2 et 3, ça vaut Ln(3)
etc..
Jusqu'à n
Tu verras que toutes les marches sont au-dessus de la courbe Ln, donc que la somme des Ln est supérieure à l'intégrale de la fonction Ln.
Il y a une petite coquetterie entre les limites n et n-1 mais on s'en moque.