Étude qualitative d'une équation différentielle

[invite8262d7ce]

Bonjour,

J'ai commencé les cours sur les équations différentielles, et je dois vous avouer que je suis un peu perdu..
J'ai un exercice d'entraînement à faire pour la prochaine séance, mais je rencontre un "problème" sur une question.

J'ai une équation différentielle du type y' = y - y². Il m'est fourni une solution f(x)= (k*e^t) / ( 1+k*e^t).
-> Je dois faire l'étude qualitative de cette équation différentielle.

Dans mon cours, j'ai trois étapes:
1) Chercher les solutions constantes
2) Étudier les variations des solutions
3) Étudier si convexe/concave



Mais je bloque dès le début, à la recherche des solutions constantes.
Si il y a une solution constante, c'est que y' = 0.
Donc je me retrouve avec y' = y - y² = 0.

J'ai calculé y' = (k*e^t) / (1+k*e^t)² = 0.

Au final j'ai e^t = 0. Or l'exponentielle n'est pas égale à zéro; sa limite cependant tends vers zéro en -00.
Qu'est-ce que ce résultat signifie concrètement dans ma recherche de solutions constantes? Qu'il n'y en a aucunes constantes?




Merci beaucoup d'avance!
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[gg0]

Bonsoir.

Si y est une constante telle que y-y²=0, combien vaut la constante y.

Ensuite, si y n'est pas constante, ses variations dépendent du signe de y-y² (cours de première !).

Si y n'est pas constante, peut-elle valoir 0 pour une valeur x0 de x ? Valoir 1 ? Penser au théorème d'existence des solutions (Cauchy).

Cordialement.

[invite8262d7ce]

Je suis vraiment pas à l'aise avec ces équations différentielles!!

La constante y..

y' = y - y² = 0.
Je factorise. y' = y ( 1 - y ) = 0.
On fait l'équation produit nul, donc on trouve les deux solutions constantes qui sont y=0 ou y=1!
C'est bien ça??


Pour la deuxième étape, il faut étudier le signe de y' qui est égal à y' = (k*e^t) / (1+k*e^t)².

•Pour un k positif, (k*e^t) > 0 et (1+k*e^t)² > 0, donc pour k>0, y' > 0 donc les solutions sont croissantes.

•Pour un k négatif, c'est l'inverse ; (k*e^t) <0 et (1+k*e^t)² > 0, donc pour k<0, y' < 0 donc les solutions sont décroissantes.


Ai-je fait des erreurs jusque là??


Merci!!

[gg0]

Bonjour.

"C'est bien ça??" Oui, que veux-tu que ce soit d'autre ?

La suite n'a rien aucun intérêt, ce que tu dois étudier ce n'est pas le sens de variation d'une solutions qu'on t'a donné, mais le sens de variation des solutions. J'ai l'impression que tu n'as pas encore compris ce qu'est une équation différentielle ! Quelle est l'inconnue ? Que sont les solutions ? .

"Je suis vraiment pas à l'aise avec ces équations différentielles!" C'est normal, c'est nouveau. mais c'est d'autant plus vrai si tu n'apprends pas les bases du cours (voir ci-dessus). Si tu ne sais pas de quoi on parle, tu as peu de chances de comprendre

Cordialement.

NB : Tracer les courbes des trois solutions que tu connais serait une bonne idée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8262d7ce]

Non vous avez raison, je ne comprends rien. Malheureusement le cours ne consiste qu'à remplir des trous dictés sur un polycopié, sans autres explications.



J'ai mon cours sous les yeux justement, j'ai essayé de suivre la démarche du professeur, mais je bloque.

• Solutions constantes, y(t)=0 et y(t)=1.

• Sens de variation des solutions;

(E): y' (t) = y(t) - y²(t) = F[y(t)] qu'on simplifiera en F(y).

J'appelle maintenant F(y) = y - y² = -y ( y - 1) La courbe C sera donc une parabole concave.

Il faut trouver les points d'intersection de C avec l'axe des abscisses => F(y) = 0 <=> y(t)=0 et y(t)=1 (les deux solutions stationnaires).
Le sommet de la parabole est atteint en F'(y) = 0 soit en y(t)= 0.5.

Au final, j'ai dessiné la parabole sur une feuille, parabole qui représente donc F[y(t)] = y ' .
- Sur ]-00;0[, F < 0
- sur [0;1], F > 0
- sur ]1; +00[, F < 0


Une fois ici, je ne sais plus quoi faire, je ne comprends plus la suite de mon cours.
Une idée?

Merci !

[invite8262d7ce]

Double message, désolé.


Puisque j'ai;
- Sur ]-00;0[, F < 0
- sur [0;1], F > 0
- sur ]1; +00[, F < 0

Ça signifie que pour y(t) < 0 et y(t) > 1, y(t) est décroissante. Et pour 0 (<ouégal) y(t) <(ouégal) 1, y(t) est croissante!


Mais ensuite?? :s

[invite8262d7ce]

Je crois que j'ai finalement compris, dans mon cas, du moins.
Je reprends tout depuis le début.



• Solutions constantes, y(t)=0 et y(t)=1.

• Sens de variation des solutions;

Il s'agit ici d'obtenir le signe de y'. Soit F[y(t)] = y - y² = y'.
Je dessine sa courbe, je trouve quand est-ce que F[y(t)]=0, je cherche son maximum.
J'obtiens au final que;

- sur ]-00;0[, F[y(t)] < 0
- sur [0;1], F[y(t)] > 0
- sur ]1; +00[, F [y(t)] < 0


Cela signifie donc les choses suivantes;

Pour y(t) < y(t)=0 et y(t) > y(t) = 1, les solutions sont décroissantes.
Pour y(t)=0 < y(t) < y(t) = 1, les solutions sont croissantes.

De plus, on sait qu'aucune autre solutions de l'équation différentielle ne peut couper un des solutions stationnaires déterminée au premier point (Cauchy).
Pour y(t)=0 < y(t) < y(t) = 1, y(t) est minorée et majorée et est croissante, on trouve les limites. On fait la même chose pour y(t) < y(t)=0 et y(t) > y(t) = 1, respectivement en - et + l'infini.


• Convexité et concavité;

Il faut étudier le signe de y". Autrement dit, il faut dériver F[y(t)].
F'[y(t)] = ( y - y² )' = y" = y' - 2yy' = y'(t)*[1-2y].

On trouve le signe de y'(t) grâce au deuxième point.
Ensuite, il nous faut trouver le signe de 1-2y.
Pour cela; 1-2y = 0 <=> y= 1/2

Au final on obtient les signes suivants;

- y"(t) < 0 sur ]-00;0[ et ]1/2 ; 1[ CONCAVE
- y"(t) > 0 sur [0;1/2] et [1; +00[ CONVEXE




Pour finir, on obtient en traçant quelques y solutions, une figue dans ce style (cf fichier joint, obtenu avec geogebra).


Quelqu'un pourrait-il me confirmer que la démarche et les résultats sont corrects (ou non, je me suis peut-être totalement planté... )?



Merci encore de votre aide !

[gg0]

Je n'ai pas tout vérifié de près,

mais tu sembles avoir pigé.
Pour ma part, j'aurais utilisé une condition initiale du genre pour x=a, f(x)=b. Mais je n'ai jamais pratiqué ce genre d'exercice.

Cordialement.

[invite8262d7ce]

Ça marche, merci encore beaucoup pour ton aide!!!!