Diviseurs de Zéro

[Médiat]

Bonsoir,

Soit une -algèbre unitaire, commutative et associative.
Pour , je note :
Si a est un diviseur de zéro, je note , il est évident que , mais je me demande si , si quelqu'un a une idée ...
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[Médiat]

J'ajoute que trouver des conditions sur l'algèbre de départ, pour que cette inclusion soit vérifiée, m'irait très bien aussi.

[Tiky]

Bonsoir,

Je te propose le contre-exemple suivant :
On peut voir que . En effet soit tel que ,
alors est divisible par et donc car .

Ps : je n'arrive pas à faire de guillemet sur le forum... \og et \fg ne fonctionnent pas :/

[Tiky]

Un autre contre-exemple plus simple : il suffit de considérer une -algèbre qui ne soit pas un corps mais qui n'a pas de diviseur de zéro. Par exemple .
Alors mais comme X n'est pas inversible...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Bonsoir,

Merci de ce contre-exemple, pensez-vous que l'hypothèse "dimension finie" pourrait changer les choses ?

J'ai utilisé : [tex]\ll \overline Y \gg [/tex]

[Médiat]

Un autre contre-exemple plus simple : il suffit de considérer une -algèbre qui ne soit pas un corps mais qui n'a pas de diviseur de zéro. Par exemple .
Alors mais comme X n'est pas inversible...

Oui mais dans mes hypothèses n'est défini que pour les diviseurs de 0

[Tiky]

Une -algèbre (associative, unitaire et commutative) finie est un corps. Dans ce cas c'est trivialement vrai.

Edit : heureusement que le premier exemple fonctionne

[Médiat]

Une -algèbre (associative, unitaire et commutative) finie est un corps.

Je ne vous suis, Il existe des tonnes de -algèbres (associative, unitaire et commutative) de dimension finie qui ne sont pas des corps, les bicomplexes par exemple

[Tiky]

Oui vous avez raison, il manque l'hypothèse intègre.

[invite47ecce17]

Bonjour,
D'ailleurs si A est intègre la propriété est vrai pour les a inversibles et uniquement eux.

[Tiky]

Médiat ne considère que les éléments nilpotents. Si A est intègre, en particulier A est réduit et donc la propriété est vraie par définition.

[Médiat]

Bonjour,

Je peux ajouter une hypothèse sur l'algèbre : tout élément est soit un diviseur de zéro soit inversible.

[0577]

Bonjour,

une petite variante du contre-exemple de Tiky.
Soit .
A est une -algèbre unitaire associative commutative de dimension finie
égale à trois.
Tout élément non-nul de A est soit inversible soit diviseur de zéro.
On a et pourtant .

[Médiat]

Bonsoir,

Merci de votre idée, vous avez raison, cela va me permettre d'affiner ma recherche

[Médiat]

Bonjour,

Pour ceux que cela pourrait intéresser, je cherche en fait à résoudre l'équation ... avec dans une -algèbre de dimension finie, unitaire, commutative, associative telle que tout élément est soit inversible, soit un diviseur de 0 (les algèbres représentables par des matrices réelles fournissent des exemples (sous réserve de commutativité), il est facile de démontrer (c'est même une trivialité) que si (ce que j'ai noté dans le premier message), il existe une ou des solutions (faciles à identifier), et que si , il n'y a pas de solutions, ce que je voudrais trouver c'est une caractérisation plus élégante de afin de rendre le résultat moins trivial, sachant que et sont tous les deux des diviseurs de 0.

[Médiat]

Bonjour,

Finalement, j'ai ma réponse, la propriété de l'algèbre qui est en cause, est que l'ensemble des diviseurs de 0 se décompose en deux hyperplans, et (*) supplémentaires, du coup, si on applique le théorème du rang à l'application définie par , pour un , on obtient que

(*) c'est à dire que

[Médiat]

Bonjour,

J'ai enfin terminé mes démonstrations (résultats sans-doute personnels, en tout état de cause, je n'en ai pas trouvé trace sur le net) :

Pour tout , l'algèbre multicomplexe (qui est associative et commutative), contient 2 sous-espaces-vectoriels et tels que :

1. et sont des sous-algèbres
2. et sont des idéaux
3. (en tant qu'espaces vectoriels)
4. 
5. signifie l'orthogonal au sens de la multiplication (donc des diviseurs de zéro)
6. (pour )

désigne le générateur de l'algèbre.

Pour :
donc
donc

Pour :
donc
donc

Pour :
donc
donc

Si vous voyez des choses pas claires, voire fausses, n'hésitez pas à m'en faire part, ou si vous trouvez ce résultat quelque part ...