Series de fonctions

[invite07b05686]

Bonsoir,
soit E={ C[0,1] ,R }
G : E---->E
f------> Gf avec Gf(x)=Σ (de n=0 jusqua linfini) f(x^n)/2^n
1. Mq G définie
2. Mq G application linéaire continue sur (E, ||.||∞)
3.Soit f de E tq G(f)=f
a-Justifier l'existence de b,c ∈[0,1] tq : ∀ x ∈[0,1] f(b)<= f(x) <= f(c)
b-Déduire que f(b)= f(b^n) et f(c)=f(c^n)

Arrivé à la dernière question je me suis bloqué,d'après 3a f(b)<= f(b^n) mais pour l'autre sens,je ne trouve pas la solution.J'ai voulu majoré |G(f)(b)-G(f)(b^n)| par k* |f(b)-f(b^n)| tq k<1 pour trouver l'egalité mais je tombe toujours sur k=1

Pouvez vous me donner une indication?
Merci
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[inviteea028771]

Il faut se servir du fait que f = Gf, donc en particulier

Donc f(1)=0

Puis,


Ensuite on minore tout les f(b^n) par f(b) sauf celui qui nous intéresse, puis en faisant la somme (en ajoutant un terme en plus) on se retrouve presque avec l'inégalité voulue

[invite51d17075]

Bonsoir,
soit E={ C[0,1] ,R }
G : E---->E
f------> Gf avec Gf(x)=Σ (de n=0 jusqua linfini) f(x^n)/2^n
1. Mq G définie
2. Mq G application linéaire continue sur (E, ||.||∞)
3.Soit f de E tq G(f)=f
a-Justifier l'existence de b,c ∈[0,1] tq : ∀ x ∈[0,1] f(b)<= f(x) <= f(c)
b-Déduire que f(b)= f(b^n) et f(c)=f(c^n)

Arrivé à la dernière question je me suis bloqué,d'après 3a f(b)<= f(b^n) mais pour l'autre sens,je ne trouve pas la solution.J'ai voulu majoré |G(f)(b)-G(f)(b^n)| par k* |f(b)-f(b^n)| tq k<1 pour trouver l'egalité mais je tombe toujours sur k=1

Pouvez vous me donner une indication?
Merci

pardon, mais je suis curieux,
comment obtiens tu cela.?
d'ailleurs f(0)=f(1)=0
edit: j'ai compris

[invite705d0470]

Et on en conclut que la seule fonction qui convient est la fonction nulle.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite07b05686]

Oui c'est bon probleme réglé.Merci tout le monde .Bonne journée