Théorie ergodique

[inviteb574f08e]

Bonjour quelqu'un pourrait il m'expliquer les notions de théorie ergodique et en particulier le théorème ergodique de Birkhoff avec un vocabulaire compréhensible en sup svp ?

En vous remerciant.
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[invite6b1e2c2e]

Oui, bien sûr. Ca dit, en gros, que moyenne temporelle et moyenne spatiale coincide.
Plus précisément, si tu considère une bijection u et mu une mesure invariante par ce difféo, alors, pour une fonction f mesurable pour cette mesure et de carré intégrable (en gros si tu peux définir les intégrales), l'intégrale de f correspond à la limite de la moyenne des N premiers points de l'application u, et ce, quels que soit la donnée initiale.

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rvz

[inviteb574f08e]

Merci beaucoup, il me reste deux petites questions.

"Un système dynamique mesuré est la donnée d'un espace mesuré X et d'une fonction f qui préserve la mesure, c'est à dire telle que u(f^-1(A)) = u(A)."

u est la mesure, et A une partie de X dans cette définition. Ma question est pourquoi u(f^-1(A)) = u(A) et pas u(f(A)) = u(A) ? Quel est l'argument qui fait que ça à un intérêt de s'intérésser aux mesures passées et non futures ?

Sinon quel est le rapport entre le théorème de Birkhoff et la loi des grands nombres ?

Merci

[invite6b1e2c2e]

u est la mesure, et A une partie de X dans cette définition. Ma question est pourquoi u(f^-1(A)) = u(A) et pas u(f(A)) = u(A) ? Quel est l'argument qui fait que ça à un intérêt de s'intérésser aux mesures passées et non futures ?

En fait, il me semble que si tu le définis dans le sens direct, u°f n'est pas forcément une mesure. Il doit y avoir des problèmes de réunion ou d'intersection, qui sont des opérations qui marchent bien qu'avec f^{-1} et pas f.

Sinon quel est le rapport entre le théorème de Birkhoff et la loi des grands nombres ?

Si je ne m'abuse (Je ne suis pas familier avec ces objets) :
Il te suffit de prendre f = Id, et u la loi des variables iid. Tu obtiens que la moyenne des expériences tend vers l'espérance...

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rvz

[A voir en vidéo sur Futura]