anneau sans irréductibles.

[invite179e6258]

bonjour,

je cherche un exemple non trivial d'anneau qui ne possède pas d'éléments irréductibles. Non trivial n'est pas un terme très précis, disons qu'un corps serait un exemple trivial.

en fait je me demandais à quelles conditions les anneaux Mn(K) des matrices nxn sur un corps K possèdent des irréductibles (au sens des anneaux, on parle aussi de matrices irréductibles mais ce n'est pas la même chose (enfin je crois...)).
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[Médiat]

Bonjour,

Je peux vous proposer les nombres perplexes tels que , les non inversibles sont les nombres qui peuvent toujours s'écrire .

[invite179e6258]

ah tiens je ne les connaissais pas ceux-là. Ca ressemble à une plaisanterie! mais ça marche. Merci.

[Médiat]

Ca ressemble à une plaisanterie!

On les appelle aussi :

Nombres complexes hyperboliques.
Nombres complexes déployés.
Moteurs algébriques (Clifford).
Nombres bi-réels.
Contre-complexes.
Nombres doubles.
Nombres complexes anormaux.
Nombres de Lorentz.
Nombres espace-temps.

Je leur ai consacré un chapitre dans mon document sur les ensembles de nombres.

Il y a peut-être quelque chose à regarder du côté des IR-algèbres ayant une base idempotente et orthogonale.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7c2548ec]

Bonsoir à tous moi aussi j'ai crus là à une plaisanterie pardonner moi l’expression, effectivement ça existe en mathématique un tel Nombres espace-temps malgré que j'ai compris très peut de chose dans cette vidéo (conférence de Alain Connes) mais c'est sublime .

Cordialement

[invite179e6258]

ah je viens de trouver que l'anneau des matrices réelles 2x2 n'a pas d'éléments irréductibles. En fait il suffit d'écrire les équations c'est tout bête. Ca doit être vrai pour les matrices d'ordre supérieur, du moins je le conjecture...

[Seirios]

Bonjour,

L'anneau des matrices complexes de taille quelconque ne contient pas non plus d'éléments irréductibles. Si n'est pas inversible et si on la trigonalise en , contient un élément diagonal nul. Comme tout nombre complexe admet une racine carrée, on peut écrire avec la matrice triangulaire obtenue à partir de en remplaçant chaque élément diagonal par une racine carrée et une matrice diagonale ayant les mêmes éléments diagonaux que . Donc , où et ne sont pas inversibles (puisque et ne le sont pas : ils contiennent un élément diagonal nul).

[invite179e6258]

Comme tout nombre complexe admet une racine carrée, on peut écrire avec la matrice triangulaire obtenue à partir de en remplaçant chaque élément diagonal par une racine carrée et une matrice diagonale ayant les mêmes éléments diagonaux que .

ça marche pas.

exemple :

B:
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1 0 0
[2,] 2 4 0
[3,] 3 5 9

T:
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1 0 0
[2,] 2 2 0
[3,] 3 5 3

D: (je suppose que tu voulais dire les éléments diagonaux de T)
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1 0 0
[2,] 0 2 0
[3,] 0 0 3

TD:
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1 0 0
[2,] 2 4 0
[3,] 3 10 9

(c'est presque ça...)

[invite179e6258]

ce que j'ai écrit ci-dessus est à oublier...

[Seirios]

Tel que je l'ai dit, cela ne fonctionne effectivement pas. Mais on peut modifier légèrement pour arranger le problème, non ? (À première vue, il faut diviser chaque élément non diagonal par l'élément diagonal de de la même colonne.)