calcul d'intégrale

[invite34b13e1b]

Bonjour,
Je cherche à calculer .
Je pensais passer par le théorème des résidus, en remarquant que est holomorphe sur C tout entier.
J'ai pris comme contour le demi-cercle supérieur de rayon R et [-R,R], et j'obtiens avec le théorème des résidus:

En faisant tendre R vers l'infini, j'obtiens 0 comme valeur de l'intégrale, ce qui est bien sur faux.

Je sens que le problème vient du zéro, et d'ailleurs en prenant un chemin qui l'évite je retrouve la bonne valeur de l'intégrale, mais je ne vois pas bien l'argument qui dit que je ne peux pas prendre un chemin qui passe par zéro.

Merci de votre aide !
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[invite34b13e1b]

mouai, en revoyant la demonstration du théorème des résidus, je m'apercois que l'on se ramène justement à des poles artificiels pour établir la formule. Et du coup, dans mon cas, 0 doit etre considérer comme un pole dont le résidus vaut 0.

J4espère ne pas dire trop d'aneries.

[invite34b13e1b]

mouai c'est quand meme intriguant, puisque je dois pouvoir appliquer le théorème de cauchy à ma fonction continue partout et holomorphe sur C privé de 0, et la formule de mon premier post est donc vraie.

Ahah je suis completement perdu x)

[invitea0db811c]

Bonsoir,

Sinon on peut utiliser les transformée de Fourier, et particulièrement le théorème de Parseval-Plancherel.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite34b13e1b]

Merci pour le conseil ! A vrai dire ce n'est pas tant la valeur de l'intégrale qui m'intéresse. Je suis plus inquiet à propos de mon esquisse de preuve qui donne un résultat faux alors que je n'utilise que le théorème de Cauchy.

[gg0]

Bonjour.

J'ai des doutes sur les bornes de la deuxième intégrale. Tu as parlé de demi cercle, donc on s'attend à des bornes 0 et pi.

Cordialement.

[invite34b13e1b]

oui en effet les bornes vont de 0 à Pi et pas de -Pi à Pi comme je l'ai mis plus haut. Merci pour cette correction ! Malheureusement, meme corrigée, cette expression tend encore vers 0 quand R tend vers l'infini. Ce qui m'amène à une incohérence.

Aurais-tu une idée d'où je fais fausse route?

[azizovsky]

Bonjour , je crois qu'il faut chercher du côter de la valeur principale de Cauchy VP(1/x) : fi--->lim{integ[fi(x)/x]dx} epsilon--->0 et /x/>epsilon,qui'est la dérivée ,au sens des distribution,de la distribution réguliere associée de la fonction localement sommable x-->/x/

remarque : sin(x)=Im[exp(ix)] et z-->exp(iz)

pour le calcul de integ[sin(x)/x] =pi/2 on passe par les relations de Kramer-Kroning.
pour le carré ,ça fait un bail avec les calculs

[invite34b13e1b]

Bonjour , je crois qu'il faut chercher du côter de la valeur principale de Cauchy

Bonjour,
mon problème ce justement que je ne vois pas pourquoi je dois passer par ca, puisque je suis encore dans les condtions du théorème de Cauchy:
Pour calculer l'intégrale, je remarque que la fonction sin(z)^2/z^2 est holomorphe sur C* et continue sur C, et j'applique le théorème de Cauchy sur le demi-cercle supérieur.
Je ne vois rien d'illicite à cela, mais quand je fais tendre R vers l'infini, j'obtiens que la valeur de l'intégrale recherchée est nulle...

[azizovsky]

Bonjour,
mon problème ce justement que je ne vois pas pourquoi je dois passer par ca, puisque je suis encore dans les condtions du théorème de Cauchy:
Pour calculer l'intégrale, je remarque que la fonction sin(z)^2/z^2 est holomorphe sur C* et continue sur C, et j'applique le théorème de Cauchy sur le demi-cercle supérieur.
Je ne vois rien d'illicite à cela, mais quand je fais tendre R vers l'infini, j'obtiens que la valeur de l'intégrale recherchée est nulle...

Bonjour , le théorème de Cauchy stipule que l'intégrale d'une fonction holomorphe sur un chemein fermé est nulle , où est le problème
en plus tu'as : sinx= (z-1/z)/2i

[invite34b13e1b]

le théorème de Cauchy stipule que l'intégrale d'une fonction holomorphe sur un chemein fermé est nulle , où est le problème

Le théorème de cauchy stipule que l'integrale sur un chemin fermé d'une fonction holomorphe partout sauf en un point, et continue partout, est nulle. C'est celui-ci que je veux appliquer.
en l'appliquant j'obtiens l'egalité que j'ai ecrit dans mon premier post. Le problème est alors qu'en faisant tendre R vers l'infini, j'otiens que l'intégrale d'une fonction strictement positive et intégrable est nulle .

[invite7c2548ec]

Bonjour à tous j'aimerai bien avoir le résultat de cette intégrale ,bien entendu en estiment que c'est un exercice merci;

CORDIALEMENT

[invite7c2548ec]

Re ici je ne sais si vous avez la réponse mais pour ma par j'ai quelque chose comme complex analysis sauf en anglais .

Cordialement

[azizovsky]

,ça fait un bail avec les calculs

Salut , si on pose f'=1/x²(f=-1/x) et g=sin²x(g'=2sinx)

[f.g]=int(f'g)+int(fg')

[-1/x][sin²(x)]+1/2int[sin(x)/x]=int[sin²(x)/x²] (car l'intégral est de 0à+oo mais 1/2 pour -oo+oo
0+1/2.pi/2=pi/4????

[azizovsky]

Salut , si on pose f'=1/x²(f=-1/x) et g=sin²x(g'=2sinx)

[f.g]=int(f'g)+int(fg')

[-1/x][sin²(x)]+1/2int[sin(x)/x]=int[sin²(x)/x²] (car l'intégral est de 0à+oo mais 1/2 pour -oo+oo
0+1/2.pi/2=pi/4????

0+pi/2 déjà le 1/2 et dedans pour -oo,+oo

[azizovsky]

et si on prend la distribution <1/x²,f>=int[f/x²] ,je crois c'est la définition de la valeur finie , f la fonction test, bonne journée .

[invite7c2548ec]

Bonjour remarque à vue œille :

Bonjour,
Je cherche à calculer .
Je pensais passer par le théorème des résidus, en remarquant que est holomorphe sur C tout entier.
J'ai pris comme contour le demi-cercle supérieur de rayon R et [-R,R], et j'obtiens avec le théorème des résidus:

En faisant tendre R vers l'infini, j'obtiens 0 comme valeur de l'intégrale, ce qui est bien sur faux.

Je sens que le problème vient du zéro, et d'ailleurs en prenant un chemin qui l'évite je retrouve la bonne valeur de l'intégrale, mais je ne vois pas bien l'argument qui dit que je ne peux pas prendre un chemin qui passe par zéro.

Merci de votre aide !

Si vous considérer le contour du demi-cercle supérieur de rayon R il est logique de prendre et non comme vous le faite si haut.

Cordialement

[breukin]

Et pourquoi la seconde intégrale (de 0 à pi comme déjà indiqué par gg0) serait-elle nulle ?
Le sinus d'un nombre complexe n'est pas borné.

[invite7c2548ec]

Bonsoir à tous :

Bonjour,
Je cherche à calculer .
Je pensais passer par le théorème des résidus, en remarquant que est holomorphe sur C tout entier.
J'ai pris comme contour le demi-cercle supérieur de rayon R et [-R,R], et j'obtiens avec le théorème des résidus:

En faisant tendre R vers l'infini, j'obtiens 0 comme valeur de l'intégrale, ce qui est bien sur faux.

Je sens que le problème vient du zéro, et d'ailleurs en prenant un chemin qui l'évite je retrouve la bonne valeur de l'intégrale, mais je ne vois pas bien l'argument qui dit que je ne peux pas prendre un chemin qui passe par zéro.

Merci de votre aide !

Si on raisone comme vous venez de le faire ci haut , une question que représente pour après transformation ?

Cordialement

[breukin]

Et il n'y a aucun problème en 0.
La fonction se représente par une série entière absolument convergente sur C, tout comme son carré.

[invite7c2548ec]

Bonjour à tous :Pour ce qui est de est une singularité apparente pour la fonction puits cette singularité est très importante pour le calcule de l'intégrale :
Par contre la série , le développement de en série entière nous va servir en rien pour le calcule de cette dernière , par contre dans ce genre d’exercice il est vivement conseiller d' établir le théorème de Cauchy et par conséquent d'écrire le contour qui inclus l'ouvert connexe ,à savoir le demi cercle centré en du demi-plans supérieur et là , est ce qu'il faut que ou dans (U est un ouvert encore connexe ou demi disque pointé ?).


Cordialement

[invite34b13e1b]

Merci Breukin ! j'ai effectivement considéré le sinus comme borné sur C -___- plus de problème donc