Diagonalisation

invitecbade190 · 07/03/2014, 11h25

Bonjour à tous,

Soient $\text{[math]}$ tels que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ :
J'ai besoin de diagonaliser la matrice suivante : $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$
Pour cela, j'ai calculé le polynôme caractéristique et j'ai trouvé : $\text{[math]}$
Les valeurs propres sont : $\text{[math]}$
Donc, puisque le polynôme caractéristique est scindé à racines simples, alors $\text{[math]}$ est diagonalisable.
Malheureusement, quant je calcule les espaces propres, j'obtiens $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ , donc, ce n'est pas diagonalisable. Est ce que c'est normal ça ?

Merci d'avance.

**ulyss** · 07/03/2014, 12h05

Bonjour,

J'ai fait le calcul pour $\text{[math]}$
Dans le cas ab non nul:
On obtient (1 ; bc/a² ; c²/ab) comme vecteur propre...

Ou (a²b ; b²c ; ac²)
Sans condition sur a ou b

**Seirios** · 07/03/2014, 12h10

Bonjour,

Je confirme : j'ai fait le même calcul et ai obtenu le même résultat.

invitecbade190 · 07/03/2014, 12h30

Merci à vous deux.
Et vous trouvez combien pour les deux autres vecteurs propres qui complètent le vecteur propre $\text{[math]}$ associé à la valeur propre $\text{[math]}$ ?
Merci d'avance.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**ulyss** · 07/03/2014, 12h51

Avec $\text{[math]}$
La condition X vecteur propre associé à la valeur propre abc s'écrit :
$\text{[math]}$
D'où le système:
$\text{[math]}$

Et on en déduit:
$\text{[math]}$
Enfin il faut peut-être l'écrire différement pour s'affranchir du problème ab=O

Ensuite on en déduit le vecteur propre cité avant.
Tu ne peux pas utiliser la même méthode pour les autres??

invitecbade190 · 07/03/2014, 12h55

Merci beaucoup ulyss

Pour Les autres vecteurs, je trouve : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , est ce correct ?
Merci d'avance.

**ulyss** · 07/03/2014, 13h09

Dans ta réponse tu as supposé que ab est différent de 0.
D'ailleurs, au début, dans la détermination des valeurs propres, tu les as supposé distinctes 2 à 2.
Or cela n'est vrai que si abc est différent de 0...
Tu as écrit comme hypothèse (abc différent de 1). Etait-ce en fait (abc différent de 0) ?
Sinon il faut étudier en plus ce cas : abc = 0 car alors A n'est pas forcément diagonalisable selon ton raisonnement.

invitecbade190 · 07/03/2014, 13h23

Oui, c'est $\text{[math]}$ . Merci en tous cas.

invitecbade190 · 07/03/2014, 13h26

Comment trouver l'inverse de la matrice de passage ?

Merci d'avance.

**ulyss** · 07/03/2014, 14h27

Il faut juste revoir la méthode de changement de base:
Soient:
$\text{[math]}$
les vecteurs unités d'une nouvelle base.
Soit $\text{[math]}$ les coordonnées d'un vecteur quelconque dans la nouvelle base et $\text{[math]}$ celles dans l'ancienne base.
On a alors de façon évidente:
$\text{[math]}$

Qui s'écrit aussi matriciellement:
X=PX'

Pour trouver P^-1 et bien tu n'as qu'à inverser le système ci-dessus.
Ici c'est justifié car la somme (vectorielle) des espaces propres vaut l'espace $\text{[math]}$ tout entier.

Autrement dit exprimer x', y' et z' en fonction de x,y et z. Les coefficients te donneront les coefs de P^-1
Tu peux adapter à ton pb?

invitecbade190 · 07/03/2014, 15h39

Merci.
Voici ce que j'ai trouvé :
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
Est ce correct ?
Merci d'avance.

invitecbade190 · 07/03/2014, 15h57

Donc : $\text{[math]}$
N'est ce pas ?
Ny'a-t-il pas un moyen d'écrire $\text{[math]}$ sous la forme :
$\text{[math]}$
avec : $\text{[math]}$ à déterminer ?
Merci d'avance.

**ulyss** · 07/03/2014, 16h53

Pour les calculs je te fais confiance. On voie que le produit des matrices de passage est l'identité assez facilement, sauf qu'il y a a priori un $\text{[math]}$ au lieu de 3 au dénominateur du coefficient. D'ailleurs vue la forme de P le résultat était en fait plus rapidement visible qu'en inversant le système 3x3 que je t'avais proposé.

Tiens! on reconnaît une matrice de passage pour diagonaliser les matrices circulantes en dimension 3, à savoir:
$\text{[math]}$
d'inverse $\text{[math]}$

cf. : http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_circulante

La diagonalisation s'écrit alors

$\text{[math]}$

Avec $\text{[math]}$ matrice diagonale. et C(a,b,c) matrice circulante relative à a,b,c

a, b, c s'exprimant en fonction des coefficients de la diagonale de $\text{[math]}$ et inversement.

Du coup si tu pouvais trouver u, v, w tels que tu les veux,et bien tu devrais avoir
$\text{[math]}$
qui serait une matrice circulante, ce qui n'est pas le cas, sauf si $\text{[math]}$
Il y a probablement une subtilité en plus.

Tu arrives à faire le lien avec ta question d'il y a quelques jours? Cela fait partie du même exercice ou du même problème apparement.

**ulyss** · 07/03/2014, 17h06

Euh, désolé j'ai fait une erreur: il n'y a pas forcément de $\text{[math]}$ au lieu de 3 au dénominateur du coefficient. J'ai cru que la nouvelle base étaient orthonormée, ce qui n'est pas forcément le cas... et même pas du tout le cas ici a priori

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