bonjour,
j'aurai besoin d'aide pour commencer cet exercice:
soit f de Mn(C) dans Mn(C) et f(M)=AM-MA avec A dans Mn(C)
montrer que f diagonalisable ssi A est diagonalisable
j'ai séparé l'équivalence en 2 implications mais je ne vois pas comment démontrer chacune
merci de votre aide
Bonjour,
Si je considère les endomorphismes g et h de Mn(C) définis par g(M)=AM et h(M)=MA, avec A diagonalisable, as-tu une idée pour prouver que g et h sont diagonalisables ?
s'il n'y avait pas le A se serait bon, je pourrait faire avec le polynôme minimal mais là je n'arrive pas à éliminer A
Il ne faut pas éliminer A.
Tu as l'habitude de travailler avec des endomorphismes f d'un espace vectoriel E de dimension n. Les vecteurs de E sont représentés, dans une base, par un n-uplet de coordonnées (x1,...,xn), et il en est de même de f(x) ; par contre, f est représenté par une matrice carrée d'ordre n.
Ici, l'espace E est Mn(C), de dimension n2, et les éléments de E sont des matrices ; en particulier A est élément de E, l'endomorphisme f transforme la matrice M en une autre matrice M', et f serait représenté, dans une base de E, par une matrice carrée d'ordre n2.
Pour mon endomorphisme g, un vecteur propre, associé à une valeur propre a, est une matrice M non nulle telle que g(M)=aM, c'est-à-dire AM=aM.
Il te faut faire le lien entre, d'une part les valeurs propres de g et les vecteurs propres associés (qui sont des matrices carrées), d'autre part les valeurs propres de A et les vecteurs propres associés (qui sont des colonnes.
d'accord je crois que j'ai compris
merci
Il est facile de calculer gk(M), et d'en déduire le polynôme minimal de g en fonction du polynôme minimal de A.
