diagonalisation
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diagonalisation



  1. #1
    invitebf5c1787

    diagonalisation


    ------

    Bonjour,
    j'essaye en vain de démontrer que :
    Si f est un endomorphisme et que si la dimension des sous espaces propres est égale à la multiplicité de la valeur propre dans le polynôme caractéristique, alors f est diagonalisable.

    Je sais que le degré du polynôme caractéristique = somme des multiplicités des valeurs propres = dimE1+dimE2+...+dimEr mais je ne vois pas comment conclure que c'est = dim E

    Si qqn pouvait m'aider... Merci

    -----

  2. #2
    invite899aa2b3

    Re : diagonalisation

    Il faut voir que les espaces propres sont en somme directe.

  3. #3
    invitebf5c1787

    Re : diagonalisation

    On sait que si l1,l2,..., lr sont les valeurs propres alors El1, El2,... sont en somme directe.
    Et de là je peux directement conclure que dimEl1+dimEl2+...+dimElr (en somme directe) = dim E ??

  4. #4
    Tiky

    Re : diagonalisation

    Oui car le degré du polynôme caractéristique c'est exactement dim E et cela que la matrice soit diagonalisable ou non.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invitebf5c1787

    Re : diagonalisation

    C'est justement ça que je n'arrive pas à visualiser... :s
    Pouvez-vous me l'expliquer ?

  7. #6
    Tiky

    Re : diagonalisation

    C'est facile à démontrer. On pose . Soit la matrice de notre endomorphisme dans une certaine base (peu importe laquelle).


    Alors par définition et en développant par rapport à la première ligne :


    Avec

    On en déduit le résultat avec une récurrence sur n.

  8. #7
    invitebf5c1787

    Re : diagonalisation

    ok!
    Merci beaucoup pour votre aide !

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