Bonjour,
j'essaye en vain de démontrer que :
Si f est un endomorphisme et que si la dimension des sous espaces propres est égale à la multiplicité de la valeur propre dans le polynôme caractéristique, alors f est diagonalisable.
Je sais que le degré du polynôme caractéristique = somme des multiplicités des valeurs propres = dimE1+dimE2+...+dimEr mais je ne vois pas comment conclure que c'est = dim E
Si qqn pouvait m'aider... Merci
Il faut voir que les espaces propres sont en somme directe.
On sait que si l1,l2,..., lr sont les valeurs propres alors El1, El2,... sont en somme directe.
Et de là je peux directement conclure que dimEl1+dimEl2+...+dimElr (en somme directe) = dim E ??
Oui car le degré du polynôme caractéristique c'est exactement dim E et cela que la matrice soit diagonalisable ou non.
C'est justement ça que je n'arrive pas à visualiser... :s
Pouvez-vous me l'expliquer ?
C'est facile à démontrer. On pose. Soit
Alors par définition et en développant par rapport à la première ligne :
Avec
On en déduit le résultat avec une récurrence sur n.
ok!
Merci beaucoup pour votre aide !
