Question bête sur le problème de Monge

[invitefc043461]

Bonjour,

j'aimerais savoir pourquoi dans le problème de Monge on utilise généralement comme fonction coût la distance au carré divisée par 2. C'est censé représenter l'énergie utilisée pour aller d'un point donné à un autre. Je ne suis pas sûr de savoir précisément pourquoi. C'est peut-être une question qu'il faudrait que je pose à un physicien, mais n'en ayant pas sous la main je viens la poser ici ^^'

Merci
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[invitefc043461]

Une autre question, plus mathématique cette fois.
C'est par rapport à la définition de plan admissible (si u et v sont des mesures respectivement sur X et Y, w est plan admissible si pX#w = u et pY#w = v). En fait j'ai voulu trouver des exemples, la mesure produit vient immédiatement, puis j'ai voulu trouver d'autres exemples, un peu moins triviaux. Avec des diracs il me semble que je m'en sors, mais bon... Si quelqu'un a un meilleur exemple, je suis preneur.
Par exemple, si on trouvait telle que pour tout , , ben ce serait bien...

[gg0]

Bonjour.

Pour ta deuxième question, en imaginant que f est définie sur , la fonction constante égale à 1 répond à la question que tu as écrite; mais sans doute pas à tes besoins.

Cordialement.

[invitefc043461]

Oui, la fonction constante correspondrait à une mesure produit. Avec les mesures de Dirac, voilà ce que je fais:
J'aimerais faire pareil dans le cas continu... J'ai essayé de bricoler des trucs avec des séries entières mais ça ne marche pas. Peut-être qu'il faudrait trouver une EDP dont la fonction serait solution, mais j'ai du mal avec ces choses-là ^^'

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefc043461]

J'ai répondu à ma question! Si on désigne par la mesure de Lebesgue, on prend , alors , du coup est un plan admissible entre et elle-même, et il est bien différent de la mesure produit, car la mesure de n'importe quel pavé de côté 1 par 1 est de longueur nulle. Ça me fournit une solution de mon problème initial en évitant le problème de , qui du coup cependant me reste en suspens...

[invitea07f6506]

Première question. Je n'ai plus les détails en tête, mais l'idée est la suivante. Quand on fait du transport optimal, on ne cherche pas simplement à transférer une masse d'un endroit à un autre. On peut faire mieux, et savoir comment transporter chaque élément (i.e. par quel chemin, à quelle vitesse...), pour peu que l'on ait une version infinitésimale de la fonction de coût (i.e. combien il en coûte de déplacer une unité de masse dans une direction donnée à une distance infinitésimale). La fonction carré a l'avantage de bien fonctionner dans ce cas, la trajectoire de chaque élément de masse étant alors une géodésique parcourue à vitesse constante. Bref, cette fonction de coût est naturelle d'un point de vue géométrique, et il me semble qu'elle a de nombreuses applications en physique et en géométrie. Il faudrait un spécialiste pour en dire plus.

Deuxième question. Comme tu l'as vu, dès que préserve la mesure de Lebesgue, si on pose , alors est un plan admissible. En fait, on obtient de cette façon exactement les plans admissibles du problème original de Monge, qui consistait - étant données deux mesure et - à trouver une application telle que et qui minimise le coût . Il suffit de prendre . Cependant, la version moderne donne plus de liberté, et un bon nombre de plans admissibles ne sont pas réalisables de cette façon. Par exemple, tu peux partir d'une application qui préserve la mesure, du type :



Tu en déduis un premier plan de transfert de la façon expliquée ci-dessus. Cependant, cette mesure n'est pas absolument continue, contrairement à ce que tu souhaites. Mais on peut voir comme étant le tore de dimension 2. Soit une fonction positive sur , de classe , et d'intégrale 1. Alors est la densité d'une mesure de probabilité admissible sur , est de classe , et est en général distincte de la fonction constante.

Comme tu le vois, il y a beaucoup de liberté : choix de la fonction qui préserve la mesure, choix d'un noyau de convolution... Et comme une combinaison convexe de plans admissibles est un plan admissible, on peut vraiment obtenir beaucoup d'exemples.