M inversible donc f bijective

[invite0fd5e1c6]

Bonjour à tous,

Soit f linéaire, endomorphisme de E, soit B=(e1,...,en) base de E,
"Si une matrice Mat(f,B) est inversible donc f est bijective", je n'ai pas vu cette conséquence? Pourrait quelqu'un m'expliquer un peu, merci d'avance.
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[invite81055034]

Salut !

Sans vouloir paraître arrogant ou quoi que ce soit, la réponse est dans ta phrase. Il ne faut pas oublier que ta matrice représente un endomorphisme. Si ta matrice est inversible, celà signifie qu'elle est de rang n. D'après le théorème du rang, le noyau de ton endomorphisme est réduit à {0}, c'est à dire qu'il est injectif. De plus on est en dimension finie, donc ton endomorphisme est bijectif.

[invite0fd5e1c6]

Merci GwdTiger, en fait je n'ai pas compris

D'après le théorème du rang, le noyau de ton endomorphisme est réduit à {0}

La matrice est inversible donc dimImf=n mais pourquoi?

Et l'endomorphisme n'est ni injective ni surjective je crois, comment déduire "f bijective"?

[invitefa064e43]

le théorème du rang dit que dim(Im(f)) + dim(Ker(f)) = n

si ker(f) est réduit à {0}, il a dimension 0.

Donc que doit valoir dim(Im(f)), c-à-d le rang ?


D'autre part, oui, l'application est bien et injective et surjective.

C'est qqchose de facile à prouver qu'une application est injective si et seulement si son noyau est trivial.

de plus, si elle est de rang n, alors elle est injective (on parle d'un endomorphisme, rappelle-toi, si son rang est n, ça signifie que l'image est un espace vectoriel de dimension n. Or, c'est forcément tout l'espace-vectoriel, puisque l'espace dans lequel on se trouve est justement de dimension n.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite81055034]

Le raisonnement que je vais faire est un indirect, si quelqu'un a mieux à proposer ^^, nous sommes preneurs !
La matrice est inversible, donc son déterminant est non nul, c'est à dire que la famille de vecteurs (f(e1), ..., f(en)) est une famille libre, mieux c'est une base de E. Donc rg f = dim Imf = n. D'après le théorème du rang, on dit grossièrement que dim Ker f = 0, on dit plutôt ker f = { 0 }. Cette dernière propriété assure le caractère injectif de ton endomorphisme. De plus cet endomorphisme va d'un espace de dimension finie vers lui même donc on a l'équivalence f injectif ssi f surjectif ssi f bijectif.

[invite0fd5e1c6]

Merci de vos reponses, j'ai bien compris

Alors c'est pas évident!!

[invite986312212]

Le raisonnement que je vais faire est un indirect, si quelqu'un a mieux à proposer ^^, nous sommes preneurs !

mieux je sais pas mais peut-être plus direct: si M est inversible c'est qu'elle a une inverse (!) soit N. N est la matrice d'un endomorphisme dans la base B, soit g. Si x est un vecteur quelconque, et y=fx alors gy=x car dans la base B on a y=Mx et Ny=NMx=x (en notant de la même façon un vecteur et son écriture dans la base B). De même, si y=gx, alors fy=x. Ce qui montre que g est l'inverse de f qui est donc bijective.

[albanxiii]

Bonjour,

Et l'endomorphisme n'est ni injective ni surjective je crois, comment déduire "f bijective"?

En dimension finie, pour un endormorphisme f, on a f injectif <=> f surjectif <=> f bijectif.

[invite0fd5e1c6]

C'est ça! J'avais oublié cette proposition, merci.

[invite9f4232db]

moi je vais rebondir sur cette question: pourquoi f est bijective équivaut à une matrice M associée à f inversible, f étant linéaire mais pas un endomorphisme?

[invite179e6258]

en fait si tu parles de la possibilité d'inverser la matrice de f c'est qu'elle est carrée et donc f est bien un endomorphisme (ça ne sert à rien de considérer qu'il y a plusieurs espaces vectoriels de même dimension finie sur un même corps).

[invited3a27037]

bonjour, voici une autre explication

f est-elle bijective, càd pour donné, existe t'il unique tel que ?

Si U et V sont les n-uplet de coordonnées de u et v dans la base B:




solution unique, donc f est une bijection

[invite9f4232db]

Merci Joel je comprend mieux! (Cq-1 [X] etant un polynome à coefficient complexe de degré inférieur ou egal a q-1)

charlie si je prend en exemple l'application f: Cq-1[X] * Cp-1[X] ---> Cp+q-1[X]
A , B = PA+QB
ou P et Q € C[X] avec deg P=p et degré de Q =q

sa matrice pourra etre noté M(P,Q) avec le resultant (P,Q) =det M(P,Q)
f sera bijective et lineaire mais je ne vois pas en quoi c'est un endomorphisme ou qu'on peut le considerer comme tel!