Applications surjective, bijective
Bonjour !
Je bloque sur un exercice traitant des applications.
Voici l'énoncé :
Soient E, A, B des ensembles fixés avec E non vide, A et B sous-ensembles de E.
On considère l'application
f : P(E) -> P(E)*P(E)
X -> (A U X, B U X) (U = "union")
1) Montrer que f n'est pas surjective (considérer (Ø,Ø) appartient à P(E)*P(E) ).
2) Monter que la condition A inter B = Ø est une condition nécessaire pour que f soit injective (considérer f(A ⋂ B) et f(Ø)).
3) Montrer que cette condition est aussi suffisante pour que f soit injective.
[Rappel : lorsque l'implication A => B est vraie, B est une condition nécessaire de A et A est une condition suffisante de B ].
J'ai essayé plusieurs choses mais rien de bien concluant a priori.
1) (Je suppose qu'il faut raisonner par l'absurde ou trouver un contre-exemple).
On suppose une application surjective f' : P(E) -> P(E)*P(E).
On considère (Ø,Ø) ∈ (P(E)*P(E)). Il faut trouver X tel que (A U X, B U X) = (Ø,Ø). Un tel X n'existe pas.
On en conclut que f=f' n'est pas surjective.
2) A montrer : f injective => A ⋂ B = Ø.
On suppose f injective donc pour tout X, X' ∈ P(E), X=X' => f(X)≠f(X').
On considère f(Ø)=(A,B)
3) A montrer : A ⋂ B = Ø => f injective.
On suppose A ⋂ B = Ø.
f(Ø) = (A,B)
f(A ⋂ B) = (A U (A ⋂ B), B U (A ⋂ B)) = ((A U A) ⋂ (A U B), (B U A) ⋂ (B U B)) ...
Merci d'avance pour toute aide
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